二阶微分方程公式大全

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       编辑/江畔雨落
       前言
       张拉结构可以定义为类似桁架的系统，其中包括能够在空间中沿单个方向传递载荷的元件，这些是支柱、杆和电线、电缆，元件之间的连接由球形接头构成。


       球形接头也代表了可以施加外部载荷的唯一点，因此张拉结构的所有单元只能轴向加载，一方面简化了它们的建模。
       另一方面通过选择专门用于轴向载荷的几何形状材料，进而实现创建每单位质量具有高刚度的结构。


       由于其特殊的结构，张力很容易吸收外力和冲击，就比如美国航天局提出了一种基于球形张力结构的移动机器人，具有减震功能。
       关于张拉系统的研究工作集中在结构平衡和稳定性分析的研究，计算张力结构的初始平衡状态本身是一项不平凡的任务，因此被称为“找形”。


       特别是在最近研究人员引入了一种数值方法，用于确定一般结构的结构刚度矩阵K，为正半定时的稳定性，这种稳定性被定义为结构在施加较小的外部载荷后恢复到原始状态的能力。
       这种数值研究法，究竟有哪些过人之处？又是如何解决研究中的问题的？


       研究过程中遇到的困难
       张力运动学是一个具有挑战性的问题，因为它比串行机器人运动学更复杂，实际上确实如此，张拉机器人由具有复杂布线的弦和杆网络组成，并且固定在具有平行和封闭的连杆架构中，因此导致具有结构约束的复杂正向运动学。


       解决正向运动学的最流行的方法之一是牛顿-拉夫森方法，已经提出了基于遗传算法，势能和变形运动学的替代方法。
       另一个提出的用于张拉机器人结构的运动学公式是变形运动学方法，此方法在欧几里得空间中强加节点，这些节点由节点坐标相对于惯性笛卡尔坐标系描述。


       接头的位置由相对于初始位置的变形或拉伸桁架单元定义，这是一项艰巨的任务，因为张力结构的形式在钢丝张力方面应该是对称的，在移动后找到机器人的初始形状也是一项至关重要的任务。


       有一些机械因素会严重影响造形，就比如摩擦力，整个机构由导线驱动，导线与机器人刚性部件之间有一定的接触，因此产生摩擦，对机器人运动造成负面影响。
       于是应有的更大的电机扭矩，运动学相关的问题是确定张力结构的动力学，解释棒材变形性的方法，提出了一种基于拉格朗日-欧拉混合方法的方法。
       用于推导平衡配置周围的线性运动方程，以进行模态分析和数值模拟，中引入了另一种获得线性化运动方程的方法，利用二阶常微分方程。
       与之前使用偏微分方程相比，该方法简化了问题，但该方法的主要缺点是计算所需的大量参数，与杨氏模量和几何性质有关。


       此后方法直接处理非线性张力动力学，关于张力最重要和最著名的研究是美国人的研究。
       在它们的公式中，张力中的条形被认为是刚体，结构的非线性动力学使用节点、条形和弦连接矩阵表示。


       就比如节点矩阵包括结构的所有节点在笛卡尔空间中的坐标，它有三行和等于柱数两倍的列数。
       采用这种公式的动力学模型具有等于柱数12倍的状态数，这是一组非最小坐标，因为张拉动力学是用每个柱的六个自由度来描述，而不是最小数字。


       与最小坐标的框架相比，这似乎是一个缺点，但总有例外斯克尔顿的形式主义有显著的优势。
       首先，它避免使用三角函数的长链，因为动态方程中唯一的非线性是比率和平方根，其次，系统的质量矩阵虽然尺寸较大，但变得恒定，这简化了某些计算。


       目前斯克尔顿的形式主义已被用于多项研究，就比如研究了一般张拉系统的动力学的统一公式，公式被扩展为解释阻尼力和沿通过多个节点的连接弦的力的存在。
       专家提出了一个相关的框架，用于模拟存在刚性钢筋和大质量弦时的张力动力学，允许人们将弦的质量分布成沿弦的多个点质量，同时保持刚性杆的精确动力学。


       在最后创建了一个基于建模框架的张拉系统动力学静态分析和仿真软件工具箱，并在中进行了描述。
       由于需要同时进行电机控制，张拉结构的运动学提出了挑战，而具有刚性链接的串行机械手只需要控制单个电机，张拉机器人的线网结构使其容易受到任何致动器的运动和冲击。


       反观串联机械手的运动学则基于其自由度，张力结构具有大量的结构约束，因此与串联机械手中更简单的运动学公式不同，基于约束方程的运动学公式是实现所需自由度的关键。
       构成最简单和最常用的设计，棱柱形张拉结构通常由重复图案组成，这一事实使得也可以使用简化的装配序列，棱柱形张拉结构已被用于创建相当于具有开链运动结构的工业机器人手臂的张拉机器人。


       由于其轻质组件和平行架构，与传统的工业机械手相比，这些机器人可以操纵相对于其重量更高的有效载荷。
       张力机器人非常适合在不平坦和非结构化的环境中运行因为它们不需要额外的基础设施，进而降低了开发成本。
       尽管有这些优点，张拉机器人仍无法实现与具有并联结构的三角洲机械手相媲美的高速，另一方面，与连续机械手等线驱动机器相比，张拉机器人的有效载荷能力明显更高。


       贡献和研究
       关于新的棱柱形张拉机器人的运动学和动力学公式，该机器人具有刚性杆、无质量弦和固定在地面上的基节点，该算法使用最少的坐标集，运动学公式采用欧拉角和均匀变换来表达节点坐标的空间旋转和平移。
       在之后所提出的动力学公式通过引力转矩矢量定义运动方程，在基节点固定在地面上的棱柱形张力结构中，很容易定义引力矢量的方向，这与球形张力结构不同。


       就比如在球形张力结构中，重力矢量的方向可能随时间变化，所考虑的动力学公式需要基本参数，比如钢丝张力、棒材长度、棒材质量、端板质量和重力常数。
       这项工作中提出的运动学和动力学公式，也可以被视为确定具有最小坐标集的棱柱张拉机器人动力学模型的第一步。


       与非最小坐标系相比，这种模型的明显优势是存在较少数量的变量，缺点是它仅限于棱柱结构，三角函数乘积的长链的存在，以及需要计算质量矩阵逆的符号表达式。


       以模拟系统动力学，在某些情况下，这种公式对于非最小坐标系可能是有利的，就比如如果张拉机器人的运动必须通过数值最优控制来规划，那么存在任意数量的正弦和余弦将优于存在平方根。


       还有关于相同类型的求解器，如果求解器的设计不是为了利用从非最小坐标系派生的稀疏性模式，那么从最优控制问题中存在较少数量的决策变量是可取的，事实上，存在几个软件工具箱可以解释最优控制问题中的稀疏性。
       但它们都不是为非最小张拉坐标系的特定稀疏模式而设计的，综上所述所提出的运动学和动力学公式适用于具有固定和可移动顶板的棱柱形张拉结构，就比如三角形和四棱形棱柱形张拉结构。


       除了固定参数外，机器人形状主要取决于钢丝张力，在我们的原型中，我们使用三种类型的电线，有源、无源和鞍形电线。
       三根有源导线直接连接到电动机，三根无源导线连接到底座上的延长弹簧，为机器人结构提供刚性，鞍形钢丝承受上层的重量并允许整个结构的动力平衡。


       人们可以注意到摄像头的存在，它们是运动捕捉系统的一部分，它使我们能够获得节点位置的高精度数据，主要用于实验验证我们的模型。


       在运行涉及机器人运动的实验时，为驱动有源电线的电机提供了特定的角位置参考，尽管有这些好处，张拉结构也因其复杂性而得到认可，这在解决张拉机器人的运动学和动力学时提出了挑战。
       于是就通过研究提出了一种新的张力结构运动学、动力学公式，该公式不同于经典矩阵微分方程框架，主要是是基于矢量微分方程的新公式，当方便使用较少数量的状态变量时。


       这可能是有利的，所提出的运动学和动力学公式的局限性在于它仅适用于具有棱柱结构的张拉机器人。
       除此之外通过研究还介绍了所提出的六杆张拉机器人数学公式的实验验证结果以及对张拉机器人成功实验所需的校准特征进行了实证解释。


       控制环境由两个独立的部分组成，第一个是机器人控制结构，在电脑上具有通过机器人操作系统下运行，并且环境集成了张力传感器读数、电动机和控制代码。


       第二个是在另一台计算机上实现的，计算机具有可以使用操作系统，通过软件使用运动捕捉系统测量机器人轨迹，方便从系统获得读数，在张拉机器人节点上嵌入了反射标记。
       之后为了测量电线张力，我们安装了七个张力传感器，每根电线一个，每个张力传感器的模拟输出被馈送到放大器模块中，相应的放大信号由微控制器的模拟输入采集，该微控制器通过通用串行总线将测量结果发送到工作站。
       总结
       通过使用最小坐标集的棱柱形张拉机器人的运动学和动力学的简化组合公式，针对张拉机器人的实验室原型详细解释了所提出的建模框架的定义。


       但是结果表明，所提出的建模框架可以提供可接受的建模精度水平，因此可以用于不同的应用，在研究中我们提出了一种结合运动学和动力学约束的新公式，并通过仿真结果验证了所提出的数学公式。
       最后，将仿真中得到的节点位置与MCS测量的实际张拉机器人节点位置进行了比较，获得的结果始终接近。

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