列空间与秩
慎月穆4954为什么矩阵A可逆,则矩阵AB的秩等于矩阵B的秩,同样,矩阵B可逆,则矩阵AB的秩等于矩阵A的秩??? -
赖盼命18280031037 ______ A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积 所以AB就是B左乘一些初等阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以秩不变.即r(AB)=r(B) B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积 所以AB就是A右乘一些初等阵,而右乘初等阵就是对A进行初等列变换,所以秩不变.即r(AB)=r(A)
慎月穆4954如果行列式的值为零,则此行列式中某两行(列)成比例吗? -
赖盼命18280031037 ______ 楼上在瞎扯,你要从秩的角度理解分析.秩,指的是最大非零子式的阶数.这是最初始的定义,但是利用向量空间的观点去研究可以发现,秩还等于行空间和列空间的维数,参考 高等代数 第五版 第六章最后一节.如果,行列式等于0,说明秩小于n,也就说明行空间的维数小于n,而行空间是由n个向量线性组合而成,维数小于n,说明这个向量线性相关,也就说明某些行可以由其他行线性表示.列的角度分析也一样. 比如例子 1 2 3 2 3 4 3 5 7 第三行是第一行和第二行相加的结果.
慎月穆4954矩阵的秩相等一定等价吗? -
赖盼命18280031037 ______ 两个矩阵秩相等不一定等价.秩是矩阵的一个重要性质,表示矩阵中线性独立的行或列的最大数量.秩相等的两个矩阵并不一定具有相同的行列式、特征值和特征向量,因此它们也不一定相似.在数学上,矩阵的相似是一种重要的关系,它代表...
慎月穆4954高等代数(人大版)5.4节一道课后习题 概念没学懂,列空间和零空间除了秩相加为n还有别的什么关系么? -
赖盼命18280031037 ______ 设x位于N(A)交R(A),即Ax=0且存在y使得x=Ay,于是 x=Ay=A^2y(条件A=A^2)=A(Ay)=Ax=0(x位于N(A)).于是R(A)交N(A)=0空间.R(A)+N(A)=R(A).
慎月穆4954问一个比较基础的问题,线性代数中如何求空间的基?急例:对于矩阵1 3 - 2 12 1 3 23 4 5 6求其行空间的基、列空间的基、零空间的基(详细解答过程,越... -
赖盼命18280031037 ______[答案] 最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理:如果空间的维数为n,则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底.矩阵的行秩等于列秩.来看这道题:首先初等行变换矩阵变为阶梯型,发现该矩阵的秩为3.那么,这个矩...
慎月穆4954设A为n阶方阵,R(A)=r<n,若A中任取s(s<n)行构造一个新矩阵B,证明:R(B)>r+s - n. -
赖盼命18280031037 ______ 考虑两个线性空间: (1) B的列空间,即B的各列向量张成的线性空间.它的维数即是B的列秩,等于B的秩,即r(B). (2) Ax=0的解空间,即Ax=0的所有解组成的线性空间.由基本定理,它的维数=n-r(A). 现在有AB=0,所以B的各列向量均是Ax=0的解.这说明(1)是(2)的子空间,所以(1)的维数<=(2)的维数.得r(B)<=n-r(A),即r(A)+r(B)<=n. 这个结论也可以看成Sylvester秩不等式的特例: 对任意m*n矩阵A,n*s矩阵B,有r(A)+r(B)<=r(AB)+n.
慎月穆4954代数中R(A)表示A矩阵的秩,N(A)呢? -
赖盼命18280031037 ______ N(A)指的是A矩阵的零空间,A的核,也就是Ax=0的解组成的空间,而R(A)指的是矩阵A的秩,也是A的列空间和值空间,所以R(A)属于N(A).
慎月穆4954求解AB=0 r(A)+r(B)<=n的证明 -
赖盼命18280031037 ______ AB=0 r(A)+r(B)<=n的证明如下: 这里与齐次线性方程的基础解系有关 AB=0,则说明B的列向量都是AX=0的解 因此B的列向量是AX=0解集的子集 则B列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,即n-r(A) 即r(B)<= n-r(A) 因此:r(A)+r(...
慎月穆4954数组有维度的分别,请问矩阵有维度的说法吗,还是矩阵 -
赖盼命18280031037 ______ 矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩.矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩.可以证明:对于任何矩阵有,行秩=列秩.由此,行秩和列秩统称为矩阵的秩. 矩阵的秩用R(A)表示. 矩阵的零空间指的是方程AX=0的解空间. 方程AX=0的所有解组成一个线性空间,这个线性空间称为解空间,也称为矩阵A的零空间. 矩阵的零空间的秩用N(A)表示. dim表示的是空间维数,也就是表示该空间的矩阵的秩.因为维数就是用基向量的个数来定义的,而基向量的个数就等于矩阵的列向量的秩,也就是矩阵的秩.
慎月穆4954n*n的矩阵空间维度的定义是什么,它和列(行)空间的维度的联系和区别是什么 -
赖盼命18280031037 ______ 它是列(行)空间概念的推广. 两种运算: 加法, 数乘 满足8个运算规则 所有的n*n矩阵对矩阵的加法与数乘构成向量(或线性)空间 线性空间的基所含向量的个数称为其维数 记Eij 为第i行第j列元素为1, 其余元素全为0的n*n矩阵 则 Eij , i,j=1,2,...,n 构成一组基 所以空间的维数为 n^2.