判断级数收敛的八种方法

陶哲轩又发新论文了！

这也是时隔一年，他再次独立发表新论文。（arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月）

这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。

它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）提出的一个交错素数级数猜想，在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下，是成立的。

（当然，哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想，因此这项研究只是部分证明，并没有完全解决）

这项研究，还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。

一起来看看。

证明了什么样的猜想？

核心来说，这篇新论文要证明的，是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。

这个猜想与一个长这样的交错级数有关，其中pn是第n个素数：

但交错级数并不一定收敛，因此需要具体级数具体判断，这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型，即an是素数pn的倒数，这个级数是收敛的。

不过，还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。

哈代-李特尔伍德素数k元组猜想，由英国科学家哈代和李特尔伍德提出，它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。

猜想认为，存在两个绝对常数ε>0和C>0，对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组：

使得这个式子成立：

不过，这个猜想至今尚未解决。

这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上，证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步：

首先，基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。

由于证明这个猜想，实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。

转化为这个问题之后，实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。

因此，接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上，估计了短区间内k个素数的概率。

然后，陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型，来建模素数分布。

最后基于这个模型建立的分布证明猜想。

这篇博客发出后不久，就有网友赶来点赞，表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想：

One More Thing

值得一提的是，2004年陶哲轩和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）另一个更著名的等差数列猜想而来。

其中，埃尔德什等差数列猜想如下：

格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内，相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”：

埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。

这些年除了陶哲轩以外，也有不少数学家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年，证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列，将这个问题又向前推进了一步。

感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了（手动狗头）

新论文地址：

参考链接：

— 完 —

量子位 QbitAI · 头条号签约

乜临耿3396判别一个【级数】的收敛性 -
郎急便18645017594 ______ 判断级数是否收敛,首先判断通项是否收敛,但这是必要条件,也就是说通项不收敛,级数一定不收敛,通项收敛但级数不一定收敛.所以先判断通项是否收敛.判断通项是否收敛,一眼就可以看出通项是收敛的,那么只好求级数是否收敛了.可以将通项拆为如下形式,然后逐项相加.原式=(an+b)/(n+1)²-(cn+d)/(n²+2)²,与原式比较可以求得a、b、c、d,然后从n=1开始逐项相加求级数,发现分式项会前后抵消,但系数项认为n表达式,说明级数是发散.过程不好写,这里就不写了,自己写写看.

乜临耿3396判定级数的敛散性(详细步骤)
郎急便18645017594 ______ 第一和第三个,通项公式当n趋近于无穷大时,不收敛于零,第一个收敛到1,第三个无穷大,因此这两个级数发散.因为只有当通项收敛到零时才有可能收敛. 第二个用比较判决法 sin(x)<x,0<x<pi/2 而级数pi/5^n是收敛的,因此级数收敛

乜临耿3396级数收敛判别!求教 -
郎急便18645017594 ______ 1、级数是正项级数.用Taylor展式即可得到通项的大小.e-(1+1/n)^n=e-e^(nln(1+1/n)) =e-e^(n*(1/n-1/2n^2+o(1/n^2)) =e(1-e^(-1/2n+o(1/n))) =e(1-(1-1/2n+o(1/n))) =e(1/2n+o(1/n)) 等价于e/(2n).因此 通项等价于(e/2)^p/n^(p+1).故p>0时级...

乜临耿3396如何证明此级数收敛(要简单点的方法) -
郎急便18645017594 ______ 展开全部=求和((9n^2+18n+7)/[(3n+1)(3n+2)(3n+3)]) 而lim((9n^2+18n+7)/[(3n+1)(3n+2)(3n+3)])/[1/n]=1/27 可见级数与级数1/n同敛散,所以发散

乜临耿3396怎么判断级数的收敛性 -
郎急便18645017594 ______ 没看明白你给的级数是啥.但是一般来说,判别一个级数是否发散.首先看通项un的极限是不是0.如果极限不为0那么∑un必然发散;如果极限为0,那么∑un就有可能发散也有可能收敛.得具体分析了 但是一般来说,我们总是希望un能跟我们...

乜临耿3396判断下列级数是否收敛?若收敛是条件收敛还是绝对收敛. -
郎急便18645017594 ______ 首先,是收敛的.因为这是编号技术,用莱布尼兹判定定理:lim an=0(n趋于无穷) 当加上绝对值,当充分大时an显然比1/n^2要小,所以又比较法,知其收敛. 所以绝对收敛

乜临耿3396以及怎么用p级数来判定一个级数的敛散性,捉急阿 -
郎急便18645017594 ______ 形如1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+…(p>0)的级数称为p级数.当p=1时,得到著名的调和级数:1+1/2+1/3+…+1/n+….p级数是重要的正项级数,它是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数.p级数的敛散性如下:当p>1时,p级数收敛;当1≥p>0时,p级数发散.交错p级数形如1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…+(-1)^(n-1)*1/n^p+…(p>0)的级数称为交错p级数.交错p级数是重要的交错级数.交错p级数的敛散性如下:当p>1时,交错p级数绝对收敛;当1≥p>0时,交错p级数条件收敛.例如,交错调和级数1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^(n-1)*1/n+…条件收敛,其和为ln2.

乜临耿3396用比值判别法判定级数的敛散性答案:1.收敛      2.发散基础比较差,求详解. -
郎急便18645017594 ______[答案] 比值判别法判定级数的敛散性就是:后项比前项的极限,小于1收敛,大于1发散 1.lim(n→+∞)u(n+1)/u(n) =lim(n→+∞)[5^(n+1)/(6^(n+1)-5^(n+1))]/[5^n/(6^n-5^n)] =lim(n→+∞)5[1-(5/6)^n]/[6-5(5/6)^n]=5/6<1,故级数收敛 2..lim(n→+∞)u(n+1)/u(n) =.lim(n→+...

乜临耿3396 判断级数的收敛性指出是条件收敛还是绝对收敛性,并且要具体过程 -
郎急便18645017594 ______ 如图所示,判断级数是绝对收敛还是条件收敛, 第一步是判断绝对值下的级数是否收敛,若收敛则是绝对收敛,且原级数也收敛;若发散,则需要判断原级数是否收敛,若原级数收敛,则是条件收敛.这里题目是交错级数,交错级数判断敛散性,根据莱布尼兹判别法判别,但这里绝对值下的级数收敛,是绝对收敛,所以就不用判断交错级数的敛散.