相对误差公式

无论是狭义相对论还是广义相对论，很多人都会对其中关于时间变化的结论感到疑惑，甚至是反对。但这一切只是人们的生活经验遭到了相对论的颠覆，就好比大家都相信时间是公平的，对每个人都是一视同仁，但相对论却说这是错的。

比如说狭义相对论中的“动钟变慢”：在某一参考系内，高速运动的时钟（物体），它的时间会变慢；再如广义相对论中的“引力钟慢”：两只一模一样的钟，一只摆放在引力较强地方，另一只摆放在引力较弱的地方，会发现在引力较强处的钟，走的要比另一个慢（换句话说就是，低处时间流逝的要比高处慢）

对于这样的结论，很多朋友感到不可思议，甚至还有人会说：相对论就是讨了光速的便宜，相对论说这些结论要在速度接近光速时才会明显表现出来，而光速那么快，人造物的速度远远不及光速，谁知道对错呢

这不就有两位较真的科学家Hafele和Keating，还真的做了一次相关的实验，虽然人造物速度很慢，但使用超高精度的仪器还是可以看出差异的。

1971年，两位科学家利用数台铯原子钟，其中四台放到飞机里，地面上留一台作为标准钟，随后让飞机在赤道附近环球飞行，一次往西一次往东，每次耗费的时间大约是三天，最后看飞机上的原子钟和地面原子钟的时间差异。

现在我们就来分析一下这个过程：

首先原子钟作为人类目前最先进的计时工具，它的精度可以达到千万年误差一秒，因此用这样一种极其精确的仪器来测量时间的变动，是再合适不过了。

其次利用飞机环球航行，可以验证两种相对论效应，其中飞机飞行速度，再加上全球飞行的路程，可以使得狭义相对论的动钟变慢效应表现的稍微可观一些；而飞机的飞行高度又保证了广义相对论中的引力钟慢效应得以展现。（当然了，这里是将结果分开讲的，实际上但从广义相对论也是可以得出一样的结论，文章后面会提到一些）

原子钟

最后，这个实验得出的结论可以有效的验证相对论的准确性，而且可以反驳那些以时钟悖论或者是双生子悖论否定相对论的一些人（当然了，最好的实验还是GPS卫星的时间修正，可以认为是更高级版本的飞机环球实验，咱们最后也会提到）

咱们再简单说一下理论推算的要点：

首先地面的原子钟，它与咱们观测者是一致的，因为无论是从速度还是引力势来讲，都是一样的，所以可以先对位于地面的铯原子钟进行说明。

在狭义相对论方面，考虑到地球自转，它的速度就是地球自转速度（速度大小和纬度有关）。还有不要因为它位于地面就忽视广义相对论的体现，因为我们需要考虑它离地心的距离，也就是地球半径。

最后我们就能得出地面原子钟相对于地心钟（假设地心也有一个钟，这是为了便于理解）的时间变化。

再来看飞机上的四台铯原子钟（之所以用四台就是为了尽量减少误差），由于飞机是分两次飞行，一次向东一次往西，因此飞机相对于地心的速度是不同的，顺着地球自转方向时，它的速度就是自转速度叠加上飞机自身动力提供的速度（精确来讲，需要用相对论速度叠加，不过好在飞机速度并不快，这两者的结果相差甚微）；如果逆着自转方向，那么飞机相对于地心的速度就会变慢。

而这一点在狭义相对论方面，两次方向不同的飞机，就会导致时间上明显的差异（说明显是相对于原子钟计时而言）。

再者飞机飞行时，肯定是远离地表的，但不能保证时时刻刻都位于同一高度，不过这并不妨碍理论计算，因为但从引力这一方面来讲，飞机上的时间肯定是要比地面快的。

最后我们就来看看当年这次实验得到的数据：

实际值：向东飞行一圈，飞机上的时间比地面慢了59纳秒左右；而向西飞行时，飞机上时间比地面时间快了273纳秒左右。

可以发现，飞机在向东和向西绕地球一圈后原子钟的差异还是很明显的，并且表中还给出了相对论的预计值，可以发现二者在误差范围内的数值还是很接近的。

如果说这还不能让人信服的话，我们现在用的GPS导航则是最直接的证明，因为只要把飞机的飞行速度以及高度都往上拔一拔，你会发现，那不就是卫星吗？

GPS导航卫星里都带有原子钟的，因而在这样的情况下，是需要进行相对论修正的，否则GPS给出的位置误差每天就能达到11公里左右，这样的精度下是没人敢用导航的，指不定就给你导沟里去了。

而对于GPS卫星时间的修正，原理上和飞机环球实验没有区别，因此这里就不再多言了。

最后给出一个单从广义相对论得到的计算公式（基于史瓦西时空）

其中G是引力常数、M是地球质量、r是物体离地心的距离、v是物体相对于地心的速度、c为光速

利用这个公式分两次对原子钟进行计算，一次是地面的，一次是高空中的，最后将结果减一下就能得到结果。对于飞机环球飞行，结果已经在上面的那张表格；而对于GPS卫星，得到的结论就是卫星时间每天要比地面快38微秒。

本篇文章的内容到此结束。

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