级数收敛例题

陶哲轩又发新论文了！

这也是时隔一年，他再次独立发表新论文。（arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月）

这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。

它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）提出的一个交错素数级数猜想，在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下，是成立的。

（当然，哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想，因此这项研究只是部分证明，并没有完全解决）

这项研究，还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。

一起来看看。

证明了什么样的猜想？

核心来说，这篇新论文要证明的，是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。

这个猜想与一个长这样的交错级数有关，其中pn是第n个素数：

但交错级数并不一定收敛，因此需要具体级数具体判断，这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型，即an是素数pn的倒数，这个级数是收敛的。

不过，还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。

哈代-李特尔伍德素数k元组猜想，由英国科学家哈代和李特尔伍德提出，它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。

猜想认为，存在两个绝对常数ε>0和C>0，对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组：

使得这个式子成立：

不过，这个猜想至今尚未解决。

这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上，证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步：

首先，基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。

由于证明这个猜想，实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。

转化为这个问题之后，实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。

因此，接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上，估计了短区间内k个素数的概率。

然后，陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型，来建模素数分布。

最后基于这个模型建立的分布证明猜想。

这篇博客发出后不久，就有网友赶来点赞，表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想：

One More Thing

值得一提的是，2004年陶哲轩和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）另一个更著名的等差数列猜想而来。

其中，埃尔德什等差数列猜想如下：

格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内，相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”：

埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。

这些年除了陶哲轩以外，也有不少数学家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年，证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列，将这个问题又向前推进了一步。

感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了（手动狗头）

新论文地址：

参考链接：

— 完 —

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