若级数∑an收敛+则级数
萧箫 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI陶哲轩又发新论文了！
这也是时隔一年，他再次独立发表新论文。（arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月）
这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。
它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）提出的一个交错素数级数猜想，在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下，是成立的。
（当然，哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想，因此这项研究只是部分证明，并没有完全解决）
这项研究，还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。
一起来看看。
证明了什么样的猜想？
核心来说，这篇新论文要证明的，是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。
这个猜想与一个长这样的交错级数有关，其中pn是第n个素数：
交错级数，指的是项的符号是正负交替、而数值绝对值单调递减的无限级数。它的一般形式，大伙儿在学高数时应该都见过：
但交错级数并不一定收敛，因此需要具体级数具体判断，这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型，即an是素数pn的倒数，这个级数是收敛的。
不过，还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。
哈代-李特尔伍德素数k元组猜想，由英国科学家哈代和李特尔伍德提出，它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。
猜想认为，存在两个绝对常数ε>0和C>0，对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组：
使得这个式子成立：
不过，这个猜想至今尚未解决。
这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上，证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步：
首先，基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。
由于证明这个猜想，实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。
转化为这个问题之后，实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。
因此，接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上，估计了短区间内k个素数的概率。
然后，陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型，来建模素数分布。
最后基于这个模型建立的分布证明猜想。
这篇博客发出后不久，就有网友赶来点赞，表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想：
点赞！
我3周前刚在Thomas Bloom的网页上发现了这个猜想，不过只有这篇论文第一句话的内容。
我从计算（computational）的角度尝试搞定它。我把它看作是观察每个结果的偶数和奇数索引之间的差异，然后尝试进行曲线拟合，以确定差异可能为零的位置。
虽然不知道我的数据是否对解决这个问题有帮助，不过至少这提高了我的编程技能。
我还需要一些时间来消化你的论文，感谢！
One More Thing
值得一提的是，2004年陶哲轩和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）另一个更著名的等差数列猜想而来。
其中，埃尔德什等差数列猜想如下：
格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内，相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”：
埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。
这些年除了陶哲轩以外，也有不少数学家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年，证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列，将这个问题又向前推进了一步。
感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了（手动狗头）
新论文地址：
https://arxiv.org/abs/2308.07205参考链接：
[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117— 完 —
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黎雍卿2402若级数∑An收敛,则∑An+1也收敛吗 -
越尝帘17374275089 ______ 这个显然收敛; 【书上一定有:】 1、级数收敛性与级数的前n个项无关;又: 2、任意改变有限个项的值,不改变级数敛散性; 简证一下: ∑An=a 部分和数列 Sn ∑An+1 部分和数列 Tn Tn=Sn-a1+a(n+1) lim(n->∞)Tn=limSn-a1+lima(n+1)=a-a1
黎雍卿2402设级数∑un收敛,证明∑(un+un+1)也收敛 -
越尝帘17374275089 ______[答案] 这道题考察级数的两个性质:1.任意加上或去掉级数的有限想不改变它的收敛性. 2.若级数∑an收敛,级数∑bn收敛,则级数∑(an+bn)也收敛. 通项拆为两部分Un和U(n+1),已知∑Un收敛,而∑U(n+1)只是比∑Un少一项U1,去掉级数的有限项是不...
黎雍卿2402证明:若级数∑an收敛,∑(bn+1 - bn)绝对收敛则级数∑anbn也收敛阿贝尔
越尝帘17374275089 ______ 解:记Sn=求和(k=1到n)ak,则Sn收敛于S,且Sn有界,记|Sn|<=M.于是由|Sk(bk - b(k+1))|≤M|bk - b(k+1)|,知道级数:∑(k=1到无穷)Sk(bk - b(k+1)) 绝对收敛.另外由级数:∑(n=1到无穷)(b(n+1) - bn) 是绝对收敛的,可知其是收敛的,其部分和为b(n+1)--b1,因此数列{bn}是收敛的. 再用Abel分部求和公式有∑(求和(k=1到n) akbk=∑(求和(k=1到n--1)Sk(bk--b(k+1))+Snbn,由前面证明知道第一个级数收敛,Sn和bn都收敛,因此当n趋于无穷时,要证级数的部分和数列有极限,故收敛.
黎雍卿2402若级数∑an绝对收敛,则级数∑an^2 必收敛 -
越尝帘17374275089 ______[答案] 若an求和绝对收敛,说明至少有an->0,所以任取e>0,存在N>0,使得n>N时,|an|
黎雍卿2402级数∑(1,∞)Un绝对收敛, 级数∑(1,∞) Vn条件收敛,则级数 ∑(1,∞)(U -
越尝帘17374275089 ______ 不可能绝对收敛.条件收敛的级数的所有正项之和等于无穷,其负项部分之和也等于无穷.而绝对收敛的级数其正项部分之和与负项部分的和都是有限值.所以级数Un+Vn的所有正项之和等于无穷,其负项部分之和也等于无穷.应该是条件收敛.
黎雍卿2402若级数∑un收敛,则∑|un|收敛 -
越尝帘17374275089 ______ 你好!这个结论是错的,一个反例是un=(-1)^n*1/n.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢!
黎雍卿2402若幂级数∑an(x - 1)^n在x= - 1处收敛,则此级数在x=2处(绝对收敛)为什么呀?求解谢谢啦! -
越尝帘17374275089 ______[答案] ∑an(x-1)^n 在x=1处收敛,则∑an(-2)^n 收敛 收敛半径R=|-1-1|=2 在x=2处,∑an(+1)^n 则 2-1
黎雍卿2402如果数项级数∑(n=1,∞)un收敛,则级数∑(n=1,∞) un+10的敛散性是 答案是收敛,但我认为是发散,判断这个有什么定理吗? -
越尝帘17374275089 ______[答案] [(dr)]一般项取极限不为0发散.
黎雍卿2402证证明:若级数∑an收敛,∑(bn+1 - bn)绝对收敛,则级数∑anbn也收敛 -
越尝帘17374275089 ______[答案] 记Sn=求和(k=1到n)ak,则Sn收敛于S,且Sn有界,记|Sn|
黎雍卿2402若级数∞n=1un条件收敛,则级数∞n=1|un|的敛散性为:______. -
越尝帘17374275089 ______[答案] 由级数条件收敛下定义可得, c果级数 ∞ n=少un条件收敛, 则级数 ∞ n=少un收敛, 但是级数 ∞ n=少|un|发散. 故答案为:发散.