x平方大于1的取值范围

数学界几十年来的一个谜题，终于被解开了。

这个猜想和初等数论中经典的佩尔（Pell）方程：x2-d*y2=1有关。

（这里d是整数，求x、y也都是整数的解。）

在此之前，经典佩尔方程的整数解情况已得到证明：

当d≤0或d为某大于0的完全平方数时，该方程有唯一解：x=±1，y=0；当d>0且不是完全平方数时，该方程有无数组正整数解。

不过数学家们的探究精神一般不会止步于此。

有人提出将等号右边的1变成-1，并将这个新的方程称为负佩尔方程 （ II型佩尔方程），结果整数解的情况立刻变得复杂了许多。

时间拨到1993年，当时数学家彼得·史蒂文哈根（Peter Stevenhargen）提出了一个公式，对负佩尔方程的整数解情况给出一个精确的答案。

而这个猜想提出后的30年，数学界一直无法证明它的正确性。

但现如今，来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺（Carlo Pagano）和密歇根大学的皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），终于给出了猜想的“正解”。

帕加诺的导师Hendrik Lenstra教授甚至对此评价说：

数论中的经典：佩尔方程

在介绍负佩尔方程之前，让我们先来了解一下经典的佩尔方程从何而来。

佩尔方程，其实与佩尔完全无关。

这一理论最早由费马（Pierre de Fermat）进行深入研究，由拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）给出解决方案，但后来因为被欧拉（Leonhard Euler）误记为佩尔提出，就阴差阳错的流传下来。

它的具体形式为：x2-d*y2=1

当d是正整数且不是完全平方数，则存在无穷多个解。

举个例子，数学史上有个经典的“阿基米德群牛问题”：

这个问题起一直以来吸引了很多数学家的兴趣，最后经过一系列计算，被演化为求解一个佩尔方程：

x2-4729494*y2=1

2000年，伦斯查（Lenstra）完全解决了这个问题，他得出了阿基米德群牛问题的所有解：

不仅解的数量多，牛的最小数量也让人惊呼：或许只有真·太阳神才能管理了。

不同于佩尔方程，负佩尔方程的整数解情况要复杂得多。

负佩尔方程

前文提到，负佩尔方程可表示为：x2-d*y2=-1；d为整数。

显然，当d≤0，以及d为大于1的完全平方数时，方程无整数解。

此外，负佩尔方程的整数解复杂性还体现在：

但事实上，排除3、7、11、15的倍数后，并不是取其他的d值，负佩尔方程就一定有整数解。

给定d值后，首先需要求出负佩尔方程的基本解。

对负佩尔方程的求通解可使用这个公式：

其中，这里的n为任意正整数；a和b则是负佩尔方程的基本解，并有如下等式：

x0和y0就是经典佩尔方程的基本解。

更多与之相关的细节研究可参考论文：

研究者简介

最后，来看看这两位证明这个30年前猜想的数学家们吧——

卡罗·帕加诺（Carlo Pagano），是加拿大康考迪亚大学的助理教授，主要研究方向是数论。

此前分别获得了格拉斯哥大学和马克斯·普朗克研究所的数学博士后学位，博士毕业于莱顿大学数学专业，导师是Hendrik Lenstra。

皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），目前正在密歇根大学攻读博士后，主要研究方向是数论及其周边领域。

此前在马克斯·普朗克数学研究所从事博士后研究，博士毕业于莱顿大学数学专业，导师是Jan-Hendrik Evertse和Peter Stevenhagen。

可以看出，两人的学习轨迹有很多重合的部分，不仅如此，他们在研究生时期也是同学。

为了这项研究，两人整整一年天天见面，每天在黑板上进行各种演算，互相完善对方提出来的想法，就连午餐时间都不放过，如果有人在独处时有了新想法，就会随时发短信通知另一个人。

尽管非常有挑战性，科伊曼斯却在回忆起这段时间时说：“我们一起做这件事很有趣。”

参考链接：

— 完 —

量子位 QbitAI · 头条号签约

廖皇蓝27331.若关于X的方程X平方+X+a=0的一个根大于1,另一根小于1,求实数a的取值范围2.已知X1,X2是关于X的一元二次方程4kx平方 - 4kx+k+1=0的两个实数根若k... -
叶蔡启19323471240 ______[答案] (1)x^2+x+a=0有两个不等根,则delta>0 所以 1-4a>0 所以 a

廖皇蓝2733问一个数学题X平方+2X - 3大于等于0.那么X的取值范围是? -
叶蔡启19323471240 ______[答案] (x+1)平方-4大于等于0 (X+1)平方大于等于4 X+1大于等于2 或 X+1小于等于-2 即 X大于等于1 或 X小于等于-3

廖皇蓝2733已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数p的取值范围是______. -
叶蔡启19323471240 ______[答案] 设f(x)=x2+2px+1, ∵关于x的方程x2+2px+1=0有两个实数根, ∴△=4p2-4>0, 解得:P>1或P<-1, ∵关于x的方程x2+2px+1=0开口向上, ∴两个实数根一个大于1,另一个小于1(如草图), ∴f(1)=1+2p+1=2p+2<0, ∴P<-1, ∴P的范围是:P<-1.

廖皇蓝2733有用必采纳,求a的取值范围(x+1)的平方,x小于等于 - 1设函数f(x)= 2x+2, - 11,求a的取值范围1/x - 1,x大于等于1大括号弄不起来.不好意思了 ... -
叶蔡启19323471240 ______[答案] ①﹙x+1﹚²>1,x≤-1∴x<-2 ②2x+2﹥1,-11,x≥1,∴1

廖皇蓝2733已知方程x2 - ax+2a=0的两个根均大于1,则实数a的取值范围为___. -
叶蔡启19323471240 ______[答案] ∵方程x2-ax+2a=0的两个根均大于1, ∴f(x)=x2-ax+2a, ∴ △=a2-8a≥0a2>1f(1)>0 解得: a≥8,或a≤0a>2a>-1 即:a≥8 故答案为:[8,+∞)

廖皇蓝2733x减1的平方大于a乘x减2的差再加1,求x的取值范围.a大于1.
叶蔡启19323471240 ______ (x-1)²>a(x-2)+1 (x-1)²>a(x-1)+1-a (x-1)²-a(x-1)-(1-a)>0 [(x-1)+(1-a)][(x-1)-1]>0,十字相乘法 (x-a)(x-2)>0 当12 当a>2时,x>a

廖皇蓝2733已知集合a=x,ax大于1小于2,b=x,x的绝对值小于1,满足a包含于b,求实数a的取值范围 -
叶蔡启19323471240 ______ “已知集合a=x1,ax1大于1小于2,b=x2,x2的绝对值小于1,满足a包含于b,求实数a的取值范围”先看|x2|<1,a包含于b ,若x2>0,x2<1,...

廖皇蓝2733x1,x2 是方程4x^2 - 4mx+m+2=0的两个实根,求当实数m为何值x1^2+x2^2取得最小值 若x1,x2都大于1/2若x1,x2都大于1/2,求m的取值范围 -
叶蔡启19323471240 ______[答案] x1 = [-b+√(b^2-4ac)]/2a x2 = [-b-√(b^2-4ac)]/2a 则x1+x2=-b/a;x1*x2=c/a (韦达定理) x = {-(-4m)(+-)√[(-4m)^2 - 4*4*(m+2)]... +15/16 最小值就是(m-1/4)^2 =0的时候(没有更小的了……) m=1/4 x1x2都比1/2大,可知x1+x2大于1 x1+x2=-b/a=m>1...

廖皇蓝2733已知方程x2+3x+a=0 在实数范围内有解,恰有一个解大于1小于2,则a的取值范围 -
叶蔡启19323471240 ______[答案] 方程x2+3x+a=0 在实数范围内有解,则 △=3^2-4a≥0,a≤9/4 由于对称轴为x=-3/2 要使得恰有一个解大于1小于2, 只有较大的根在(1,2)之间,即 1<(-3+√△)/2<2,即5<√△<7 所以25<3^2-4a<49,-10

廖皇蓝2733若关于x的方程x2+x+a=0的一个根大于1,另一根小于1,求实数a的取值范围. -
叶蔡启19323471240 ______[答案] 令f(x)=x2+x+a, 则由已知条件得:f(1)=2+a<0, ∴a<-2.