x+0的函数图像

分数函数y=1/x(21x^3+1)主要性质归纳

主要内容：

介绍分数函数y=1/x(21x^3+1)的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间。

函数定义域及值域：

因为y=1/x(21x^3+1)，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量x不为0，

且21x^3+1≠0，则x≠-3√1/21≈-0.36.

函数的定义域为(-∞，-0.36)，(-0.36，0)，(0，+∞)。

由于函数的分子为1，所以该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。

函数的单调性：

由y=1/x(21x^3+1)，对x求导得：

dy/dx=-[(21x^3+1)+x*63x^2]/[x(21x^2+1)]^2,

dy/dx=-(84x^3+1)/[x(21x^2+1)]^2,

令dy/dx=0，则84x^3+1=0,即x=-3√(1/84)≈-0.22.

判断函数的单调性如下：

(1)当x∈[-0.22，+∞)时，dy/dx>0，此时函数y为增函数。

(2)当x∈(-∞, -0.36), (-0.36, -0.22)时，dy/dx<0,此时函数y为减函数。

函数的凸凹性：

由dy/dx=-(84x^3+1)/[x(21x^3+1)]^2，再次对x求导得，

d^2/dx^2

=-{252x^2[x(21x^3+1)]^2-2(84x^3+1)[x(21x^3+1)](21x^3+1+63x^3)}/[x(21x^3+1)]^4，

=-[252x^3(21x^3+1)-2(84x^3+1)(84x^3+1)]/[x(21x^3+1)]^3,

=-2[126x^3(21x^3+1)-(84x^3+1)^2]/[x(21x^3+1)] ^3,

=2(4410x^6+42x^3+1)/[x(21x^3+1)]^3,

对g(x)= 4410x^6+42x^3+1,看做为x^3的二次方程，其判别式为：

△=42^2-4*4410*1<0,即g(x)图像与x轴无交点，且g(x)>0,可知，

二次导数的符号取决于分母的符号。

(1)当x∈(-∞，-0.36)，(0，+∞)时，d^2/dx^2>0，此时函数y为凹函数；

(2)当x∈(-0.36，0)时，d^2/dx^2<0,此时函数y为凸函数。

函数的极限:

lim(x→-∞) 1/x(21x^3+1)=0，

lim(x→0-) 1/x(21x^3+1)=-∞，

lim(x→0+) 1/x(21x^3+1)=+∞，

lim(x→+∞) 1/x(21x^3+1)=0，

lim(x→-0.36-) 1/x(21x^3+1)=+∞，

lim(x→-0.36+) 1/x(21x^3+1)=-∞，

函数的奇偶性

因为f(x)=1/x(21x^3+1),

所以f(-x)=1/{(-x)*[21(-x)^3+1]}=-1/x(-21x^3+1)，即：

f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)；

所以函数既不是奇函数，也不是偶函数。

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