x+ln(1+x)大小

函数y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的性质

主要内容：

本文主要介绍函数y=1ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。

函数定义域：

根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：

(9+1x)/1x＞0，即不等式解集等同于x(9+x)>0，则x>0或者x＜-9, 所以函数的定义域为：(-∞，-9)∪(0，+∞)。

函数的单调性：

本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：

∵y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)

=1[ln(9+x)-lnx]-9/(9+x),

∴dy/dx=[1/(9+x)-1/x]+9/(9+x)^2

=[x-(9+x)]/[x(9+x)]+9/(9+x)^2

=9{1/(9+x)^2-1/[x(9+x)]}

=-81/[x(9+x)^2]。

可知函数的单调性与x的符号有关，即：

(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。

进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。

函数的凸凹性：

∵dy/dx=-81/[x(9+x)^2]

∴d^2y/dx^2=81*[(9+x)^2+2x(9+x)]/\n[x^2(9+x)^4]

=81*[(9+x)+2x]/\n[x^2(9+x)^3]

=81*(9+3x)/ [x^2(9+x)^3]

令d^2y/dx^2=0,则有9+3x=0,即x=-3,

此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：

(1)当x∈(0，+∞)时，有(9+3x)>0且(9+x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，有(9+3x)<0且(9+x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

综合可知函数在定义区间上均为凹函数。

函数的极限：

根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：

Lim(x→+∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-9-) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞;

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Lim(x→0+) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞。

乜卷别2717lny=2lnx+1/2[ln(1 - x) - ln(1+x)] 求导 -
秦恒砖18031323757 ______ y=ln(1-x) y'=[1/(1-x)]*(1-x)'=-1/(1-x)

乜卷别2717lime∧x+sinx - 1/in(1+x) -
秦恒砖18031323757 ______ lim(x->0) (e^x+sinx-1)/ln(1+x) x->0 e^x ~ 1+x sinx ~ x e^x+sinx-1 ~ 2x ln(1+x) ~ x lim(x->0) (e^x+sinx-1)/ln(1+x)=lim(x->0) 2x/x=2

乜卷别2717当x> - 1比较ln(x+1)与x/(x+1)的大小 -
秦恒砖18031323757 ______ 令f(x)=ln(x+1) -x/(x+1)=ln(x+1) +1/(x+1) -1 则f'(x)=[1/(x+1)]•(x+1)'+[-1/(x+1)²]•(x+1)'=1/(x+1) -1/(x+1)²=x/(1+x)² 当-1<x<0时,f'(x)<0,f(x)是减函数,当x>0时,f'(x)>0,f(x)是增函数, 从而f(0)是最小值.所以 f(x)≥f(0)=0,即 当x>-1时,有ln(x+1)≥x/(x+1)

乜卷别2717当x大于0时 证明ln(1+x)>x/1+x -
秦恒砖18031323757 ______[答案] f(x)=ln(1+x)-x/(1+x)=ln(1+x)-1+1/(1+x)= f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)2=x/(1+x)2 当X>0,f'(x)>0 f(x)递增 ,而f(0)=0,所以当X>0,f(x)>0

乜卷别2717当X>0时,(x - x^2)/ 2 与ln(1+x)的大小关系是?
秦恒砖18031323757 ______ 令F(X)=X-X^2=(2X-X^2)/2 配方后,得F(X)=[1-(X+1)^2]/2 因为X>0,所以F(X)<0 又ln(1+x)>0 综上,当X>0时,(x-x^2)/ 2 < ln(1+x)

乜卷别27170≤x≤1,如何判断ln(1+x)和x的大小关系? -
秦恒砖18031323757 ______[答案] 构造函数f(x)=ln(x+1)-x f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1) ∴在0≤x≤1上f'(x)≤0 ∴在0≤x≤1,f(x)为减函数 最大值为f(0)=-1

乜卷别2717比较∫(0到1)x/(x+1)dx与∫(0到1)ln(1+x)dx的大小各位大大们啊 帮帮忙 很急的饿 -
秦恒砖18031323757 ______[答案] 本题就是比较在(0,1)内x/(x+1)与ln(1+x)的大小令f(x)=(x+1)ln(x+1)-x,则f(0)=0f '(x)=ln(x+1)+1-1=ln(1+x)>0 x∈(0,1)则,f(x)在[0,1]内单增,又f(0)=0,因此f(x)>f(0)=0这样证明了,(x+1)ln(x+1)-x>0,x∈(0,1)即 ln(x+1...

乜卷别2717高中数学 比大小ln当X>0时,ln(1+X)与X的大小?(因为解答题,所以要答案同时请写出答题步骤) -
秦恒砖18031323757 ______[答案] 设f(X)=ln(1+X)-X 则f(X)的导数为g(X)=1/(1+X)-1 当X>0时,g(X)=1/(1+X)-1<0 所以f(X)在(0,+OO)上为减函数 f(X)

乜卷别2717用拉格朗日证明不等式,当x大于0时,ln(1+1/x)大于1/1+x) -
秦恒砖18031323757 ______[答案] ln(1+1/x)=ln[(x+1)/x]=ln(1+x)-lnx,令f(y)=lny,f'(y)=1/y. 根据拉格朗日中值定理,必存在t,且x 1/(x+1).

乜卷别2717x趋于O时,{x+ln(1+x)}除以{3x - ln(1+x)}的极限怎么求还没学洛必达 -
秦恒砖18031323757 ______[答案] limx->0 {x+ln(1+x)}/{3x-ln(1+x)}因为当x=0时x+ln(1+x)=0 3x-ln(1+x)=0所以应用罗必塔法则,即对分子分母分别求导得:原式=limx->0{x+ln(1+x)}'/{3x-ln(1+x)}'=limx->0[1+1/(1+x)]/[3-1/(1+x)]=(1+1/1)/(3-1/1)=2/2=...