三角形中至少两个锐角

人们形容两个人永远不会遇见，往往这样说:你们两个如同平行线般永远不会相交。

再怎么不相关的俩人在机缘巧合下都有遇见的可能，那平行线在特殊情况下是不是也能相交呢？

你可能会说了这一码归一码，然而如果让来自俄罗斯的罗巴切夫斯基来回答这个问题，答案可能会让你惊掉下巴。

他主张平行线可以相交。相信大家听到这个答案都是一脸问号。那么他究竟是何方神圣呢？他为什么这么说呢？这个理论被认同了吗？

创造非欧几何

如果有人说平行线可以相交，大部分人第一反应是这个人肯定是不懂数学。然而，要说罗巴切夫基斯不懂数学就无异于说刘国梁是个不懂球的胖子。

1792年出生的罗巴切夫斯基从小就表现出惊人的数学天赋。

19岁，在普通人刚上大学的年纪，他就已经获得了喀山大学的物理数学硕士学位。硕士毕业，他选择留校工作。此后，凭借着出色的专业能力以及教育敏感度，他一路快速高升。

1827年，年仅35岁的罗巴切夫斯基被推选为喀山大学校长，在此之前，他曾两度担任喀山大学物理数学系主任。

喀山大学是一个怎么样的存在呢？

它始建于1804年，自建校起，人才辈出。被誉为国际无产阶级革命的伟大导师和精神领袖的列宁、天才艺术家的托尔斯泰都是这所学校的学生。

年纪轻轻，就能担任如此重量级的大学的校长，罗巴切夫斯基肯定是有两把刷子的。

那罗巴切夫斯基好好的一个大学校长，为啥和平行线较上劲呢？

这还要从他们那个时代数学家最流行的事——探究欧几里得几何说起。

说到几何，你敢相信我们现在学的几何知识都是建立在2000多年前的一本神著《几何学原本》之上的吗？

事实就是如此，而书写这本书的人就是大名鼎鼎的几何之父，来自古希腊的数学家欧几里得。

这本书里面包含很多定义、公理、公设，而其中最为让人津津乐道的便是它的第五公设。

书中关于第五公设的描述比较冗长复杂，因此英国数学家普雷菲尔创造性的提出了这个公设的等价命题：过直线外一点，可作且只可作一条直线跟此直线平行。

有很多数学家觉得可以通过前四个公设来证明第五公设，然而上千年过去了，没有一个数学家成功地验证了这个公设。

罗巴切夫斯基的父亲也是一个数学家，潜心研究一辈子，仍对第五公设的验证毫无突破。

看到儿子也想要重蹈覆辙，父亲坐不住了，开始苦口婆心地劝导。

然而父亲的劝导反而激起了他的好胜心和求知欲，23岁时他开始踏上研究平行线理论的艰难之路。

万事开头难。一开始，罗巴切夫斯基也是踩着前人的肩膀，墨守成规地去证明第五公设。

然而，很快他就发现研究思路漏洞百出，和前人一样，难以跨越鸿沟。

有些人在历经失败后，便放弃探究，而年少有为的罗巴切夫斯基注定不会轻言放弃。

脑洞大开的他另辟蹊径，有了一个不一样的想法。

自第五公设提出时，无数的数学家前赴后继地验证第五公设，但是无一例外，没有人成功。

那这是不是意味着有可能第五公设是错误的呢？

这个新奇的想法出现在罗巴切夫斯基脑海中时，同时还伴随着三个字——反证法。

反证法是一种巧妙的解决思路，它是首先假设命题不成立，然后推理出矛盾的结果，从而得出假设不成立，原命题得证。

举个例子：证明小美病了。首先假设小美没病，没病的话小美就不会去医院打针吃药，但事实上是小美去医院打针吃药了。假设和事实互相矛盾，因此原证明小美病了成立。

罗巴切夫斯基把反证法运用第五公设的证明中，即假设第五公设不可证，以此来逻辑推演。他提出否定命题：过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交。在推理过程中，千奇百怪的命题接连而至，但是又不互相矛盾。

当然这个逻辑推演出来了很多比如：三角形内角和小于180°、锐角一边的垂线可以和另一边不相交等一些违背常理的命题。这些命题不要说在19世纪，就算在科技如此发达的今天还是难以在已知的现实世界中发现原型和类比物。

因此，罗巴切夫斯基把这个新几何称之为“想象几何”。

罗巴切夫斯基废寝忘食的研究所得出的结论能让众人信服吗？

在创新与固有的思维模式产生冲突时，历史似乎又一次重演了。

为什么说又呢？因为在人类文明进步史上，在固态思维影响下，人类总是对难以理解的新奇发现冷嘲热讽。

呕心之作难遇知音

16世纪末，伽利略质疑被誉为古希腊最博学的亚里士多德的物体下落速度与重量成比例的结论，当时几乎没有人相信他。

然而比萨斜塔的小球实验狠狠打了无知者的脸。

19世纪，达尔文的《物种起源》发布，要知道欧洲大部分都是信奉基督教的，基督教中所宣扬的最重要的一个点是上帝创造万物，而达尔文却提出了人类是由猿进化来的。

进化论一经提出，民众就炸了锅，还出了达尔文脸猿身体的人物画像讽刺他。

这样的事情数不胜数，而且重复上演，罗巴切夫斯基也难以幸免，甚至为此承受了巨大的心理负担。

1826年，人才济济的喀山大学物理数学系学术会议上，罗巴切夫斯基满怀激情地向大家宣读了《几何学原理及平行线定力严格证明摘要》。

这也标志着非欧几何的诞生。

本以为群英荟萃，能激发出更多思想的共鸣。可另罗巴切夫斯基大失所望的是，台下的学者们大眼瞪小眼，完全不能理解他过于先进的观点。

不理解也正常，但是对不理解的观点直接予以否定就说不过去了。

可事实就是让人心寒，这场会议上的鉴定小组是由重量级大咖西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成。

三人在数学界鹤立鸡群，是权威的代表。或许三人都是保守派，所以对罗巴切夫斯基的“奇思怪想”持有强烈地否定态度，因此他们不但没有给出书面意见，反而还弄丢了文稿。

事情并没有到此结束，被权威不屑后，罗巴切夫斯基倒是没有灰心丧气。探索真理的过程都是孤独的吧，或许他对这条充满荆棘的路早已有所准备。

沉淀三年之后，他王者归来，以喀山大学校长的身份发表以非欧几何为基础的《几何学原理》论文。

本以为，时过境迁，大家对新思想的包容性会更高。

然后，事情却朝着更糟糕的方向发展。

彼得堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基在看了这篇论文后，对此嗤之以鼻，还极尽挖苦之言。他不仅将该著作讽刺得一无是处，还对外公开指责罗巴切夫斯基的论文是歪门邪道。

就这样，这篇论文以一种惨烈的形式出名了，而它的作者罗巴切夫斯基以一个不学无术的形象臭名昭著。不仅不了解数学的人会通过杂志撰文来批判他，而且还有富有名气的数学家朝他发难。

一个敢于创新思想、探究奥秘的人何罪之有呢？或许就像人们常说的当浑浊成为常态，清醒反而是罪恶。

其实，清醒的人并不只有罗巴切夫斯基，还有一个更“聪明”的清醒人。

这个人就是被誉为欧洲数学之王的高斯。他在罗巴切夫斯基出生那年，就已经研究形成了非欧几何的雏形。

但是如此另类的研究成果让他不敢于在公众面前展现，甚至在得知罗巴切夫斯基的研究成果后，依然忌惮外界的声音，没有为非欧几何正名。

由此，可以得知他是个十分爱惜自己羽毛的人。在那样保守的学术环境下，这或许是个“聪明”的处世之道。

高斯在公众面前闭口不谈非欧几何，但是在私下里，却称罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”。

为了看懂罗巴切夫斯基关于非欧几何的作品，他甚至去学习了俄语。这说明他的内心是十分认可非欧几何的。

只可惜罗巴切夫斯基的这个知音，有太多顾虑，所以从始至终这场非欧几何的战斗中，就只有罗巴切夫斯基自己。

悲惨的晚年

再壮志凌云的英雄也会有迟暮的那天，在长期被嘲讽压制下，罗巴切夫斯基没有了年轻时的意气风发，他妥协了。

1846年，他向国家人民教育部提出辞呈，辞去了他在数学教研室的工作。

他本以为自己的妥协能换来平静的工作环境，然而人民教育部却违背了他的意愿，直接免去了他所有的职务。

自1807年进入喀山大学起，罗巴切夫斯基就一直在此学习工作，可以说他的一生都奉献给了喀山大学。

然而人民教育部这种不认可的做法极大地伤害了他。他离开了这个伤心地，从此再也没有拾起过最爱的教书育人的事业。《离骚》中的“国无人莫我知兮，又何怀乎故都”的诗句，想必他体会得淋漓尽致。

当然，罗巴切夫斯基的妥协只是基于压力下不得不为之计，而对于非欧几何，他从未有过任何形式的妥协或者放弃。

相反，自他提出非欧几何起，他就将自己的著作翻译成多种语言，以此来让更多的人了解非欧几何。

屋漏偏逢连夜雨。从喀山大学离职后，罗巴切夫斯基最喜爱的大儿子因为肺结核医治无效去世。白发人送黑发人，他彻底倒下了。

此后，多种疾病找上他，在与病痛抗争无效后，他最终于1856年离开了这个世界。

罗巴切夫斯基至死都没有看到非欧几何被认可，这可能是他一生最大的遗憾了。认可可能会晚一点，但它一定会到来。

非欧几何被证实

《星际穿越》这部2014年上映的电影， 曾经风靡全球。这里面引用了大量的爱因斯坦的广义相对论的概念，例如虫洞、黑洞等概念。那你知道广义相对论是建立在什么基础之上的吗？

或许你已经猜到了，广义相对论正是建立在非欧几何的基础之上。因为保守的风气，数学界对于非欧几何完全不认同。那非欧几何又是如何让爱因斯坦折服，继而提出现代宇宙学的基础广义相对论的呢？

这一切还要从罗巴切夫斯基去世12年后说起。这一次，他终于引来了真正的知音——意大利数学家贝特拉米。

1968年，贝特拉米不惧权威率先发表了《非欧几何解释的尝试》的论文。

贝特拉米为了让书面化的理论更加生动易懂，提出了非欧几何实现的基础不是我们习以为常的平直空间，而是一种形如喇叭或马鞍的负曲率双曲面。在这种曲面上过直线外一点，可以作多条直线与已知直线平行。

另外，在负曲率双曲面上画三角形，它的内角之和会小于180°。这些无一例外得证明了非欧几何的正确性。

值得一提的是，1854年，高斯的学生黎曼基于非欧几何又创造性地提出：过直线外一点，不能作直线和已知直线平行。

这种情况是在曲率为正常数的曲面上实现的。你可以理解为：在地球上，想象一下经纬度是实体线，那么最终地球两侧“平行线”（经纬度）都会相交。在这种情况下，“平行线”都会相交，自然也就没有真正意义上的平行线，所以黎曼命题得证。

看到这么多类型的几何，你可能有点懵。简单地说：欧式几何的条件是曲率恒等于零；罗氏几何的条件是曲率为负常数；黎曼几何的条件是曲率为正常数。

因此，如今的非欧几何包含罗氏几何和黎曼几何。

事实上，非欧几何的基础——曲面空间才是真正的宇宙空间。宇宙并不是平坦的，而是不规则得凹凸不平。因为曲率的变化无常，所以“平行线”相交也是普遍存在的。因此爱因斯坦将非欧几何作为探索宇宙的重要工具。

如此看来，欧式和非欧式几何只不过是不同层面上的研究，并不是互相矛盾的。欧式几何到目前都是平面几何的真理，那么可以被翻译成欧式几何的非欧几何也就没有矛盾，是完全正确的。

当然正是每一位数学家不断地“钻牛角尖”，才可以让数学定义变得更加科学。因此，现如今我们义务教育阶段学的平行线公理，都会在公理前加上六个字：在同一平面内。

自贝特拉米发表证明非欧几何可以实现的论文后，在公众视野中消失已久的罗巴切夫斯基这个名字又被重新提及，越来越多的数学家投入到了非欧几何的扩展研究中。

爱因斯坦了解到非欧几何后，可以说是欣喜若狂。相对于适用平直空间的欧式几何，广义相对论中弯曲的空间，这不正可以用非欧几何来作推算吗。

就这样，这个曾被认为歪理的理论，成为了制作钥匙的重要工具，爱因斯坦也用广义相对论这把荟萃人类无限智慧的钥匙打开了宇宙的大门。

非欧几何不仅对数学天文等领域产生重要的影响，它还改写了哲学发展史。你可能会问了，这数学怎么能和哲学扯上关系呢？其实各个学科和领域都是互关的。

欧洲第二次思想解放运动是发生于17、18世纪的启蒙运动。这场运动涌现出了大批富有智慧的人才，其中德国古典哲学创始人康德是其中一颗璀璨的明星。

他的康德哲学就是以欧几里得空间作为支柱的。非欧几何的出现让很多人不再用孤立静止片面的观点看待世界，而是用辩证的眼光看待事物。这无异于宣告康德哲学的不足之处，对世界哲学发展产生了深远的影响。

1893年，曾将罗巴切夫斯基伤透心的喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的雕像。毋庸置疑，这位数学家就是罗巴切夫斯基，这份迟来的认可想必能让他在九泉之下安心了。

结语

青年才俊罗巴切夫斯基，纵身一入非欧几何之海，便一生都没有回头。他在几何之海淘得稀世之宝，纵使周遭的人都嘲笑如此独具慧眼的他竟将一个未知无用的东西奉为宝藏，他依旧坚定信念。

这种仰天大笑出门去，我辈岂是蓬蒿人的气度，值得我们学习。

在权威之下，我们要学会科学地辩证，而不是一味地听信。做一个眼里有光、心有信念、脑有智慧的人，然后去开拓一方净地吧。

参考文献

1、中国知网;罗巴切夫斯基建立非欧几何的动机;数学;基础科学;

2、中国知网;罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程;

3、中国知网;非欧几何的产生是认识论的转变;

冀府韩3675求证:三角形中至少有两个角是锐角. -
秦丹素13262131948 ______[答案] 假设△ABC中最多有一个锐角(否定原命题),则△ABC中有一个锐角或没有锐角. (1)当△ABC中只有一个锐角时,不妨设∠A<90°,则∠B≥90°,∠C≥90°, 所以∠A+∠B+∠C>180°,这与△ABC内角和定理矛盾, 所以△ABC中不可能只有一个...

冀府韩3675一个三角形至少有两个角是锐角.______.(判断对错) -
秦丹素13262131948 ______[答案] 因为三角形的内角和是180°,一个三角形中若有两个或三个直角或钝角,就超过180°,就够不成一个三角形了,所以此题是正确的. 故答案为:正确.

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秦丹素13262131948 ______[答案] 假设三角形中锐角的个数少于2个,那么三角形中就会出现两个或两个以上的角是钝角或直角, 两个钝角或两个直角的和加上第三个角的度数一定大于180°,这就违背了三角形内角和是180°的性质, 所以一个三角形至少有2个锐角,最多有1个钝角. ...

冀府韩3675为什么一个三角形中只有2个锐角为什么 一个三角形至少有2个锐角 -
秦丹素13262131948 ______[答案] 不是啊, 三角形内角和为180度, 180除以3=60度.三个锐角

冀府韩3675任意画一个三角形,则这个三角形中至少有两个锐角的概率是( ) -
秦丹素13262131948 ______[答案] 100% 内角和180°,少于两个锐角的话则至少有两个是直角或钝角,内角和则大于180°,不可能,所以任意一个三角形都至少有两个锐角

冀府韩3675一个三角形至少有几个锐角? -
秦丹素13262131948 ______[答案] 至少有两个锐角.如果只有一个锐角,另两个必然是直角或钝角,三角形内角和就大于180度了.

冀府韩3675 一个三角形中,最多只能有一个锐角.______(判断对错) -
秦丹素13262131948 ______[答案] 因为三角形的内角和是180°,一个三角形中若有两个直角或钝角,就超过180°,就构不成一个三角形了, 所以一个三角形,至少应有两个锐角,所以最多有一个锐角是错误的. 故答案为:*.

冀府韩3675三角形ABC中至少有两个角是锐角.这是错的?为什么?是看了这个,这位仁兄说在数学里是错的,是因为这句话只是用在平面三角形里? -
秦丹素13262131948 ______[答案] 没有错啊! 假设有2个角>=90°则加起来就会超180°了 所以:三角形ABC中至少有两个角是锐角

冀府韩3675一个三角形中至少有( )个锐角. -
秦丹素13262131948 ______[选项] A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2

冀府韩3675一个三角形中至少有两个锐角.对吗 -
秦丹素13262131948 ______ 对,因为三角形的内角和为180°,而钝角是大于90°的角,在三角形两个直角更不可能,所以一个三角形中至少要有两个锐角.