二次函数最大值最小值
已知a+b=1,求ab的最大值
主要内容:
本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法等方法计算ab在a+b=1条件下的最大值。
思路一:直接代入法
根据已知条件,替换b,得到关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
ab
=a(1-a)
=-a^2+a
=-1(a-1/2)^2+1/4,
则当a=1/2时,ab有最大值为1/4。
思路二:判别式法
设ab=p,得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
a+b=1,
a+p/a=1,
a^2-a+p=0,对a的二次方程有:
判别式△=1-4p≥0,即:
p≤1/4,
此时得ab=p的最大值=1/4。
思路三:三角换元法
将ab表示成三角函数,进而得ab的最大值。
由a+b=1,要求ab的最大值,不妨设a,b均为正数,
设a=(cost)^2,b=(sint)^2,则:
a=(cost)^2,b=(sint)^2,代入得:
ab=(cost)^2*(sint)^2,
=1/4*(sin2t)^2,
当sin2t=±1时,ab有最大值=1/4。
思路四:中值代换法
设a=1/2+t,b=1/2-t,则:
此时有:
ab=(1/2+t)(1/2-t)
=(1/4-t^2)。
当t=0时,即:ab≤1/4,
则ab的最大值为1/4。
思路五:不等式法
当a,b均为正数时,则:
∵a+b≥2√ab,
∴(a+b)^2≥4*ab,
1≥4*ab,
即:ab≤1/4,
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则ab的最大值为1/4。
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