二项分布样本均值的期望

一、Poisson分布

你是否关注过在一个小时内达到某餐厅的顾客数量，某商品在一天内的销售量？在这两个例子中，事件发生的次数是离散的整数，并且可以用平均发生的次数描述给定时间段内的频率，该问题就是Poisson分布，Poisson分布是一种常用的离散型概率分布，是由二项分布的渐进公式提出，而后人们对此进行深入研究，发现实际生活中很多现象都服从Poisson分布，比如某医院每周接收到的急诊患者数量、显微镜下某单位方格内细胞数等等。

一般而言，变量X的取值为非负整数，即0,1,2，…,其相应取值的概率为：

称X服从于lambda为参数的Poisson分布，记为X{sim}Pleft(lambdaight)，其中lambda是大于0的常数，称为Poisson分布的参数，e为自然对数的底，e约为2.7183。

Poisson分布的特征一般有离散性、独立性、普通性、平稳性以及均值和方差相等。

Poisson分布的图形特征：若X服从参数为lambda的Poisson分布，以X的取值为横轴，相应的概率P（X）为纵轴，一般随着lambda的增大，Poisson分布的对称性越来越好。

(一)检验步骤

Poisson分布检验步骤如下：

1建立假设

一般先进行建立一个原假设和一个备择假设，原假设一般数据符合泊松分布，备择假设是数据不符合泊松分布。

2计算期望值

根据数据样本计算出时间时间发生的平均次数，即期望值。

3分组计数

将数据按照时间发生的次数进行分组，并统计每个分组中的观察频数。

4计算理论频数

使用泊松分布的概率质量函数，根据期望值lambda和分组中的事件次数，计算出每个分组的理论频数。

5进行假设检验

使用适当的统计检验方法，比如卡方检验等，计算观察频数与理论频数之间的差异程度。

6判断结果

根据计算得到的统计检验值和显著性水平，判断是否拒绝原假设，从而判断是否符合泊松分布。

(二)案例计算

1.Poisson分布计算概率

根据某医院外科接诊的情况长期观察，发现颈椎问题的患者站接诊患者总数的2.0％，已知该科室某日接诊100人，试计算其中有5位患者出现颈椎问题的概率。

设X表示“100个人中出现颈椎问题的人数”，X服从Poisson分布，由题可知，n=100，pi=0.01，lambda=npi=100*0.02=2;

2.Poisson分布检验

某研究人员观察某医院每天急诊患者数量，总共观察50天，所以共有50个样本数据，最终针对50个数据进行汇总如下表，一列表示该天医院患者数量，一列表示有几天出现这样的情况，数据格式如下：

分析路径：

SPSSAU【实验医学/研究】→Poisson检验，

分析结果如下：

从模型可以看出卡方值为55.729，根据p值小于0.01（**表示显著性水平为0.01）的显著性水平，拒绝原假设说明数据不符合泊松分布的假设。其中卡方统计量的计算如下：

chi^{2}=sum\frac{(A-E)^{2}}{E}=sum_{i=1}^{k}\frac{(A_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}=sum_{i=1}^{k}\frac{(A_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}(mathrm{i}=1,2,3,ldots,mathrm{k})

并且从柱状图也可以直观查看到：

1、Poisson分布数据

Poisson分布数据一定是指每单位内的发生频数，比如某个路口每天闯红灯的汽车数量；一年内每万人中丢手机的频数等；

2、检验方式

Poisson检验共有两种检验方式，一种是通过特征判断；另外一种是通过Poisson检验。在现实研究中，可能更多会通过特征进行判断是否基本符合Poisson分布。

参考文献：

[1]孙振球.医学统计学.第3版[M].人民卫生出版社,2010.

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