已知变量x与y的回归方程为
线性回归可以理解为一个回归算法,我们可以结合线性回归算法来做预测值。这篇文章里,作者就总结了线性回归算法的基本原理、应用场景、优劣势等方面,一起来看看吧。
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前两篇文章我们介绍了两个解决分类问题的算法:K近邻和朴素贝叶斯,今天我们一起来学习回归问题中最经典的线性回归(Linear Regression)算法。
一、基本原理
生活中,大家都排过队,我印象最深的应该是排队做核酸的队伍,前后间隔一米,随着做核酸的人越来越多,新来的人看到队伍,都会自动排到队伍的末尾,同样间隔一米,大家“齐心协力”排出了一条长线。
有了这条长线之后,我们就可以对新来的人排队的位置做出预测,这就是线性回归的基本逻辑。
所以线性回归算法的思路就是:根据已有的数据去寻找一条“直线”,让它尽可能的接近这些数据,再根据这条直线去预测新数据的结果。
那么具体要怎么找这条“直线”呢?初中数学里描述一条直线时,用的是一元一次方程:y=ax+b,这里的a表示直线的斜率,b表示截距,如下图所示:
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以排队为例,我们已知x是人的顺序,y是排的位置,将已有的x和y数据代入到公式中,可以得到一组合适a和b的值来描述这条直线,也就是我们找到了这条直线的分布。
排队的例子比较简单,只有一个x变量,在实际的应用中,会有很多个影响结果的变量,比如预测贷款额度时,会有工资、是否有房等变量,用线性回归的思路解决类似的问题,就要构建多元回归方程了,公式也就变成了 y = a1x1 + a2x2 + … + b。
当有两个变量时,线性回归的分布也就不是一条简单的直线了,而是一个平面,如下图所示:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01dda68d216e4588bb.jpg)
如果有更多的变量,分布就是一个超平面,找到它的分布也会变得更复杂。
二、如何计算最优解
如果每个人的站位(实际值)距离理想站位(预测值)的距离(误差)最小,那就说明我们得到的线性回归分布是最优解。
机器学习中,评价模型的预测值和实际值差异的公式叫做损失函数,损失函数值越小,模型性能越好。
平方残差和就是一种场景的损失函数,其计算公式为 loss=SUM(真实值-预测值)²,就是把每个节点的预测差求平方再求和,前面回归模型评估的文章里提到的MSE就是平方残差和除以样本数量。
三、应用场景
线性回归的应用场景非常广泛,只要数据是符合线性分布的,理论上都可以用线性回归来进行预测:
- 预测房价:通过分析房屋特征(如面积、位置、房间数量等)与价格之间的关系。
- 预测员工绩效:通过分析员工的教育背景、工作经验、培训等因素与绩效之间的关系。
- 营销分析:分析市场调研数据,预测产品销售量,并确定哪些因素对销售量有显著影响。
- 交通规划:预测交通流量,通过分析道路特征、人口密度等因素与交通流量之间的关系。
- 环境科学:分析环境数据,如气候变化、污染物排放等因素与生态系统的影响。
四、优缺点
线性回归算法的优点:
- 简单而直观:易于理解和解释,适用于初学者入门。
- 计算效率高:计算速度较快,适用于大规模数据集。
- 可解释性强:可以提供每个特征对目标变量的影响程度,有助于理解变量之间的关系。
- 可扩展性强:可以通过添加交互项、多项式特征等进行扩展,以适应更复杂的数据模式。
线性回归算法的缺点:
- 仅适用于线性关系:线性回归假设自变量与因变量之间存在线性关系,对于非线性关系的数据拟合效果较差。
- 对异常值敏感:线性回归对异常值较为敏感,异常值的存在可能会对模型的拟合产生较大影响。
- 忽略了特征之间的复杂关系:线性回归无法捕捉到特征之间的非线性、交互作用等复杂关系。
- 对多重共线性敏感:当自变量之间存在高度相关性时,线性回归模型的稳定性和可靠性可能会受到影响。
五、总结
本文我们介绍了线性回归算法的原理、应用场景和优缺点,线性回归是一个回归算法,常用来做预测值,和之前介绍的分类模型的输出是有区别的,需要注意一下。
下篇文章,我们来聊一聊逻辑回归算法,敬请期待。
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胥备裘1375谁能教一教我回归方程啊 -
乜裕朱15565362494 ______[答案] 回归方程是根据样本资料通过回归分析所得到的反映一个变量(依变量)对另一个或一组变量(自变量)的回归关系的数学表达式.回归直线方程用得比较多,可以用最小二乘法求回归直线方程中的a,b,从而得到回归直线方程. 对变量之间统计关系进...
胥备裘1375 对具有线性相关关系的变量x和y,测得一组数据如下表: 3 4 5 6 3 4 若它们的线性回归方程为 ,则 的值为 -
乜裕朱15565362494 ______[答案] 0.35 线性回归直线的方程一定经过这组数据的中心,. ,带入可得
胥备裘1375某变量x与y的数据关系如下: x174176176176178y175175176177177则y对x的线性回归方程为( ) -
乜裕朱15565362494 ______[选项] A. ∧ y= ∧ x-1 B. ∧ y= ∧ x+1 C. ∧ y= 1 2 ∧ x+88 D. ∧ y= ∧ x
胥备裘1375已知变量x,y之间具有相关关系,其散点图如图所示,则其回归直线方程可能是( ) -
乜裕朱15565362494 ______[选项] A. y=2x-1 B. y=2x+1 C. y=-2x+1 D. y=-2x-1
胥备裘1375已知变量x与y线性相关,且由观测数据求得样本平均数分别为 . x=2, . y=3,则由该观测数据求得的线性回归方程不可能是( ) -
乜裕朱15565362494 ______[选项] A. y=3x-3 B. y=2x+1 C. y=x+1 D. y=0.5x+2
胥备裘1375已知x与y之间的一组数据(如表所示):则关于y与x的线性回归方程y=bx+a必过定点( ) A.(2,2) B -
乜裕朱15565362494 ______ D 试题分析:线性回归方程y=bx+a必过定点样本中心点.样本中心点为 ,即 .故D正确.
胥备裘1375已知x与y之间的一组数据如下表,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为 y =bx+0. -
乜裕朱15565362494 ______ 由题意, . x = 3+4+5+6 4 =4.5, . y = 2.5+3+4+4.5 4 =3.5 代入线性回归方程 y =bx+0.35 ,可得3.5=b*4.5+0.35,解得b=0.7 故选C.
胥备裘1375若已知两个变量x 和y 之间具有线性相关系,4 次试验的观测数据如下: x3456y2.5344.5经计算得回归方程 ∧ y=bx+a系数b=0.7,则a等于( ) -
乜裕朱15565362494 ______[选项] A. 0.34 B. 0.35 C. 0.45 D. 0.44
胥备裘1375已知一组变量x与y具有相关关系,对应值如下表:根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y=0.5x+1 -
乜裕朱15565362494 ______ ∵. x =3+4+5+6 4 =4.5, y =0.5x+1.25,∴. y =0.35,∴3.5+t+4+4.5 4 =3.5,解得t=2,故选:A.
胥备裘1375回归方程中a,b怎么求 -
乜裕朱15565362494 ______ 回归直线的求法 最小二乘法: 总离差不能用n个离差之和 来表示,通常是用离差的平方和,即 作为总离差,并使之达到最小,这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条,这种使“离差平方和最小”的方法,叫做最小二乘法: 由于绝对值使得计算不变,在实际应用中人们更喜欢用:Q=(y1-bx1-a)²+(y2-bx-a²)+...+(yn-bxn-a)² 这样,问题就归结于:当a,b取什么值时Q最小,即到点直线y=bx+a的“整体距离”最小. 用最小二乘法求回归直线方程中的a,b有下面的公式: