怎样画一棵勾股定理树

由于农业生产的需要，中国很早就开始“观象授时”，最典型的是“斗柄授时”与观测青龙星象，以此确定时节安排生产。

所谓“斗柄授时”，就是根据北斗星斗柄的指向，战国《鹖冠子·环流篇》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬。”

所谓青龙星象，古人将二十八星宿分成四份，东方为青龙，西方为白虎，南方为朱雀，北方为玄武，根据青龙星象变化确定时节，春季青龙出现、夏季当空、秋季西坠、冬季隐藏。

但北斗和二十八宿只能在夜晚看到，那么白天看什么呢？根据史书记载，古人采用的是“立表测影”，即根据太阳影子的长短和方向的变化，以此来确定时间。问题在于，古人如何“立表测影”，工具又是什么，演变又是什么呢？考古发现改写认知，如此也就难怪勾股定理叫“勾股”，也就难怪周代算术书名叫《周髀算经》了。

谈到古人测影计时，最广为人知的是日晷（guǐ），即人类古代利用日影测得时刻的一种计时仪器，又称“日规”，如今很多公园都有日晷（见下图）。

日晷中间的铜制指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，晷面两面都有刻度，分子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰等。根据日影指向，以此来确定时间，不但能显示一天之内的时刻，还能显示季节、二十四节气和月份等。

日晷之前，古人采用的是“圭表测影”，即由“圭”和“表”两个部件组成。其中，“表”是垂直于地面的直杆（日晷中的晷针又叫“表”），“圭”是水平放置于地面上的带有刻度以测量影长的标尺。通过观测正午日影情况，根据圭上的刻度，就能确定季节的变化。

1978年，在山西临汾襄汾县，考古发现的“陶寺遗址”中，挖出由13根夯土柱组成、呈半圆形、半径10.5米、弧长19.5米的观象台（见下图）。学者在原址复制模型进行模拟实测，结果除了可以确定一天内时间之外，还可以确定“二分二至”（春风、秋风，夏至、冬至），甚至是24节气。因此，距今4000年前的五帝时代，中国已经掌握“圭表测影法”，出乎今人意料。

由于需要观测正午日影，因此圭表测影（见下图）存在不少局限性。后来，古人发现当竹竿或者石柱，倾斜到一定角度时，那么无论何时，日影都能投射到一个圆形的平面上，于是日晷出现了，由此开启了一个计时新时代。

当然，日晷出现之后，圭表测影并未被废弃，比如1279年，在河南登封的告成镇，元代郭守敬设计并建造了一座测影台——河南登封观星台，它是中国现存最早的古代天文台。

但圭表测影相对专业，自然不会一蹴而就创造出来，此前必然还有更简陋的方法。那么，这种原始的方法到底会是什么呢？

1987年，在河南濮阳发现“西水坡遗址”，其中布有蚌壳青龙、蚌壳白虎、北斗星象，但北斗星象却是由蚌壳与两条胫骨（小腿内侧的长骨，见下图北斗处）组成。这两条胫骨显得极为突兀、特别，深究其意，竟能与古老的文献相互印证。

在古人的天文信仰中，北斗七星位于“中宫”，四周的二十八星宿被分成四组，分别为东宫青龙、南宫朱雀、西宫白虎、北宫玄武。那么，为何在显赫之地放置二条胫骨？

文章开头提到，北斗的斗柄指向，可以确定时节，所以叫“斗柄授时”。但北斗星的斗柄并不笔直，为何不用蚌壳更准确的表现斗柄，或者用其他动物骨头，而是用胫骨？

原因很简单，最早测影测的是人们自身的影子，此后发展出相对更为精确、更为固定的腿骨测影，古老文献中还保留了这一记忆，比如以下三点。

首先，汉语中的昃字，表示太阳偏西，但在甲骨文中，这个字非常形象（见上图），就是太阳偏西之后人影偏斜，可见古人通过偏斜的人影表现时间。

其次，史记夏本纪中，大禹“声为律，身为度，称以出”，其中“度”是尺度。对于其中的“身为度”，学者冯时解释为“人体测影”，当然也可能以自己身体为长度单位。

第三，《列子·汤问》记载“夸父不量力，欲追日影”，因此上古神话中的 “夸父逐日”，追逐的就不是太阳，而是太阳影子，学者冯时认为反映的是人体测影。

由于人们最早认识的影子，一定是自身的影子，因此最早与最便捷的测影工具理应是自身。但人的身高差别可能很大，导致结论大不相同，更重要的是不利于传承与其他部落套用，因此也就需要寻找相对更精确的测影工具，古人找到能够支撑人体直立完成测影最关键的部位——腿骨，这也是《周髀算经》中“周髀”的来历。

上古为何从人体测影变为以腿骨测影，笔者认为可能有两个原因：一是腿骨易于保存，可以代代相传，确保了测影工具的稳定性，也就容易得出更稳定答案；二是不同身高之人的腿骨差别相对于身高差别较小，比如1.8m的成人股骨长度45cm左右，1.6m的在35-40cm左右，因此以腿骨为表，不仅利于测影传承，也利于在不同部落套用。

正因如此，中国古代算学之首才会称为《周髀算经》，因为“周髀”意为“长八尺。髀（大腿骨）者，股（大腿）也。髀者，表也”，因此“髀”既是腿骨，又是测影之表。其中“髀者，表也”，大概是因为这种测影工具是模仿人体测影发明的，故而称之为“表”。同时，数学起源于天文，尤其与“髀”关系密切，故而称之为《周髀算经》。

正因如此，勾股定理才叫“勾股”，因为立表测影时，代表“表”的股骨垂直于地面，表影长度为日影勾画出的“勾”，表顶和影端的连线形成了“弦”，三者构成了一个直角三角形。因此，勾股定理是在长期立表测影观测与计算中发现的规律，不像毕达哥拉斯定理来源的不明不白。

所以，在西水坡遗址中，表现北斗斗柄的两根腿骨，就是“髀”，就是先民白天测影的“表”，说明距今6500年时古人已经“立髀测影”了。

综上可见，中国古代立表测影，在材料上经历过以人体为表、股骨为表、石碑（垒土、木棍等）为表、铜铁为表，在形式上经历过粗陋的立表测影、较为精确的圭表测影、更完善的日晷测影。可以说，中国天文学历史极其悠久，远非世界其他文明可比，而且一步一个脚印，每一步都契合时代生产力，每一步都符合社会发展逻辑，绝对真实可信。

一直以来，古希腊被誉为“仰望星空”的民族，但这种“仰望星空”却无考古证据支撑，只有一些来历不明的文献资料，更脱离了时代生产力。与之相反的是，在天文学上被贬低的中国人，却有丰富悠久且可信的考古证据与传世文献。那么，谁才是真正的“仰望星空”，古希腊还是中国，还真是一个值得深思的话题。

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