概率论硬币实验报告

都说“十赌九输”，但世界上的赌徒总觉得他一定会成为那个“幸运儿”，即使还是输了，赌徒们也会觉得“下一次我就能翻盘”，但他们似乎没有想过，为什么赌徒换了一批又一批，赌场却一直在那里“赚大钱”。

为什么赌到最后只会输？因为大部分人连高中数学的简单概率都学不明白，还要去玩赌场精心设计的数学游戏，他们不懂，自己永远无法战胜凯利公式。

赌博是一场精心设计的概率“游戏”

有许多人认为，赌博是一场单纯靠运气的游戏，他们会将自己的失败归咎于“手气不好”，并相信自己总会有转运的一天。

但实际上，排除我们平常开玩笑所言的“搏一搏，单车变摩托”，再排除出千、设局等手法，在澳门或者其他国家那些合法持牌的赌场中，赌博是一场经过精密设计的概率游戏。

所谓概率是什么？抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的几率都是50%，这就是最简单的概率学，而在赌场中，所用到的概率学则更为复杂。

现代赌场从来都不是一个靠运气就能赚钱的地方，通过现代化的设备和大数据分析，现代赌场可以通过概率建模和随机计算来实现盈利，因此在赌博中，赌场才是永远的赢家。

举一个例子而言，现代赌场中运用最多的概率论法则之一，就是大数定律。这个大数定律是人类历史上第一个极限定理，概括来说，大数定律认为，当随机事件大量、重复出现时，往往会呈现出某种几乎必然的规律。

听起来很难理解，不过大数定律也可以简单理解为，在试验条件不变的情况下，多次重复进行试验时，随机事件出现的频率就会近似于它的概率。

比如，我们知道抛硬币时正面朝上的概率是50%，但在实际抛硬币的过程中，我们可能会连抛几次都出现正面朝上的情况，这时，正面朝上出现频率就是100%。

但如果我们不断重复抛硬币数十次，甚至成百上千次，那么正面朝上出现的频率就会近似于它出现的概率——50%。

而赌场正好有进行“大数定律”试验的天然条件，只要对每天的赌局进行统计、分析，赌场就能够运用大数定律来确保自己“稳赚不赔”——只要按照赌局中各个不同结果出现的概率来设定合理的赔率就可以了。

有人曾分析，根据大数定律和期望值的统计计算结果，在美式轮盘的赌局中，赌徒们平均每赌上1元，就会输掉0.0526元。而且，来赌场赌的人越多，赌场对于概率和赔率的计算、设定就会越精确，也就是说，赌场会更容易赚钱，而赌徒则会更容易输钱。

但如果赌徒们有足够的数学知识，那他们还可能获得翻身的机会，前提是，他们要懂得“凯利公式”。

无法战胜的凯利公式

约翰·拉里·凯利是AT&T贝尔实验室的物理学家，根据同事香农在长途电话线杂讯的研究，凯利得出了著名的“凯利公式”，用来解决一名拥有内线消息的赌徒在赌马时如何决定最佳下注金额的问题。

后来，凯利公式被凯利的同事爱德华·索普应用在21点赌博和股票市场当中，让他赚得盆满钵满。据称，索普当时就是根据凯利公式，以及自己统计出来的成功概率，成为了拉斯维加斯的“赌神”，还因此被很多赌场拉入了“黑名单”。

实际上，凯利公式不仅在赌场中“万试万灵”，在华尔街也得到了验证，巴菲特等投资大佬都依靠凯利公式赚了不少钱。

其实凯利公式并不太复杂，我们可以通过一个例子来了解它。假如你在进行抛硬币的游戏，当你下注1元时，如果硬币抛到正面那你就可以赢得2元；如果抛到反面，那就输掉1元，你一共有100元，你会怎么下注呢？

胆子大的人可能会“梭哈”，直接把100元压上，一局定胜负，要么1次正面就赢得200元，要么1次反面就输光。

而最保守的人每次可能只下注1元，不管是输是赢都慢慢来，但这样的人再玩一会儿可能就会“后悔”，尤其是当他看到别人都压10元、几十元甚至100元时，可能会觉得自己“赢得太慢”。

那么，到底应该下注多少钱才是最优解呢？

首先我们先看凯利公式：f*=（bp-q）/b，其中f*就是我们想知道的“最优下注比例”、b是赔率、p是获胜的概率、q是失败的概率，带入计算后，我们就可以知道，下注25%的资金——也就是25元——就能够使抛硬币这个赌局的收益最大化。

也就是说，如果赌徒知道凯利公式，那么只要投注25元，就该收手了，这样就能确保自己在赌局中的“胜利”。

不过，事情并没有那么简单，毕竟在赌场中，并不是所有的赌局输赢的概率都是50-50，相反，现代赌场几乎所有的赌局，都是经过精心计算的、对赌徒不公平的游戏。

在这样的情况下，凯利公式中的（bp-q）很有可能为负数，这代表着凯利公式告诉你，你应该下“负赌注”，也就是应该自己开个盘当庄家。所以，其实凯利公式是在“劝退”你，告诉你不应该下注。

但现实情况是，赌场庄家在每一局中都谨记数学原则，而绝大部分赌徒则只会依靠“财神保佑”，最终的结果当然是“十赌九输”。也许更糟糕的是，即使是懂数学的赌徒，也可能因为赌徒心理而盲目下注，也许这种心理，才是凯利公式无法被战胜的原因。

无法摆脱的赌徒心理

所谓的赌徒心理，就是输了想翻盘、赢了还想赢更多，一旦被这种心理操控，那么即使是凯利公式也不可能让他取得胜利。

因为不管在具体某一赌局中如何进行计算，凯利公式实际上告诉了我们几条准则：当（bp-q）等于0或者为负数时，不应当下任何赌注；当（bp-q）为正数时，应当按照凯利公式投注，这样赚钱最快、风险最小。

仔细分析，我们可以得知，实际上凯利公式是在说，不管任何时候，除非我们能够100%获胜，否则都应当下全部赌注，但赌徒能够这么理性吗？

显然不可能。赌徒只要坐在赌桌边，就永远期待下一局能够让自己获得更大的胜利。

澳门“赌圣”叶汉曾说“一次赌徒，一世赌徒”，并告诉何鸿燊，只有赌徒担心赌场没了怎么办，而不会因为输得多就不再来赌场赌博了，让何鸿燊不用担心赌客输得多就不再来赌场了。

实际上也是如此，我们在日常生活中都只听说谁谁谁因为赌博倾家荡产、妻离子散，很少听说谁因为赌博赚得盆满钵满、生活幸福美满的。在赌桌上能够获得胜利的，除了电影里的高进之外，可能只有那些纯粹理性派的“数学学霸”了，但这样的人会流连于赌场吗？

如果有这样的学识和心理素质，也许他们会选择直接当操盘的庄家，因为概率论会告诉他们，这才是“稳赚不赔”的方法。

何鸿燊

所以，对于大部分人来说，凯利公式不是让我们去赌场“翻盘”赚钱的，而是告诉我们“不赌才会赢”的，因为真的根据凯利公式，在大部分时候，你都根本不应该下注。

话说回来，赌徒心理也不是这么容易摆脱的，一方面，这是因为赌徒有一套专门的“赌徒谬论”，简单来说，赌徒谬论认为，自己的预期目标一定会到来。

举个例子来说，轮盘赌每局出现红色或是黑色的概率都是50%，但赌徒坚信如果连续几局出现黑色，那么下一局出现红色的概率就会增加，如果下一次还是黑色，那么再下一次出现红色的概率又会增大。

从概率学上来讲，这显然是不可能的，但每一个赌徒都这么坚信着，并且还可能为此押上全副身家。而且。万一真的让他们“押对了”，他们更会坚信自己的谬论是正确的，这会让他们更加难以摆脱赌徒心理。

而在另外一方面，赌场的一些“潜规则”也在不断加剧赌徒的这种心理，让他们深陷其中，无法自拔。

让人输钱的赌场潜规则

从某种程度上来说，现代持有牌照的合法赌场实际上赌局都是相对透明的，他们不依靠出千、作弊之类的手段来赚钱，他们的赌局是按照数学模型建立的、经得起查验，还能保证自己赚钱。

简单来说，赌场会通过数学模型计算，设定表面上吸引赌徒、但实际上对庄家有利的赔率和规则，使自己的利益最大化。

而且赌场的荷官都经过专业培训，有很强的业务能力，他们会确保赌局按照赌场想要的方式顺利进行。

例如，根据赌场规则，荷官在发牌时不能与顾客有任何直接接触，筹码或者是牌都放在桌面上，荷官离手后赌客才能动手，赌场的监控设施会全方位记录每一场赌局，确保没有异常情况。这些规则都是在保证赌场才是那个最终的赢家。

除此之外，赌场还是会依靠一些潜规则来确保那些“运气爆棚”的赌徒不会赢得太多。

例如，如果赌场通过监控发现有赌客一直赢时，会首先观察他是否有出千等作弊行为，如果没有，那么赌场也会采取一些堪称“迷信”的手段来破坏赌客的连赢局面，比如更换荷官等。

赌场大多认为，通过这种方式可以打断赌客的“运气”，让其不再获得“连赢”，不过，这种手段通常会显得“有效”就是了，毕竟在赌局被设计出来的时候，胜负的概率就已经确定了。

这么一来，有许多赌徒会将自己大好的“连赢”局面中断归咎于赌场，并坚信自己的运气还会回来，继续在赌桌前期待下一场赌局。

但实际上，站在纯粹理性的概率角度来说，赌局胜负的概率是确定的，并不会因为更换荷官而发生改变，只是赌场的这种手段，难免加深赌徒谬论，让他们更加无法自拔。

赌博是人类所发明的最为刺激的游戏之一，它能满足许多人追求刺激的心理，但我们还是要明白，每一盘赌局的胜负都是经过精心计算的，而不是结果随机、靠运气的游戏，在这场游戏中，最终的赢家只会是赌场。

即使我们掌握了凯利公式，也不应当前往赌场，因为凯利公式告诉我们最终的道理，就是“没有100%的胜率，不要下注”。

应音砌3837求解概率问题甲已丙依次轮流掷一枚均匀的硬币,若先投出正面者为胜,
蓝京邱13347865183 ______ 甲获胜概率4/7,乙获胜概率2/7,丙获胜概率1/7 由于是依次轮流抛硬币,我们先研究第一个抛的甲的情况, 如果甲第一次就抛到正面,那么甲获胜,其他两人也不用抛了...

应音砌3837如何严格证明扔一枚硬币正面朝上的概率是0.5? -
蓝京邱13347865183 ______ 在数学上,硬币不是正面就是反面,因为大家假设、默认(或者说公认)硬币两面是均一无差异的,那么其概率就是0.5.这应该认为是一个公理,公理是无需证明的(当然,你也可以不认公理,但是这样的你和别人探讨这个问题就毫无意义了). 如果在实际生活中问题,那么这只是一个被普遍默认的假设而已. 因为这一公理的前提是“硬币两面是均一无差异的”,而这个前提在实际上情况下是否满足并不确定.通常我们采用保守的假设认为这一前提是成立的,因此可以不证明,但是从物理学角度有证据证明“硬币两面是异质的”,那么这一假设就不成立了. 值得注意的是,大量的重复实验得出的结论,只能用于推测概率值,对问题的证明是毫无用处的.

应音砌3837关于硬币的概率问题 -
蓝京邱13347865183 ______ 我自己曾经也做过一个实验:打硬币约1600次后,硬币立起了2次,平均每800次立起1次,概率是百分之零点一二五.(做这个实验可把我累死啦!!)

应音砌3837一枚硬币投掷100次,57次正面朝上,求第101次正面朝上的概率 -
蓝京邱13347865183 ______ 50% 不管前面多少次正面朝上,下次正反的几率仍然是一半一半

应音砌3837用频率估计概率:抛掷硬币试验抛100次,正面朝上52次,则正面向上的频率 - -----,正面向上的概率约为? -
蓝京邱13347865183 ______ 正面向上的频率:52/100=0.52, 用频率估计正面向上概率:0.52 不明白请追问,明白请采纳,祝学习快乐!

应音砌3837概率到底是客观还是主观的? -
蓝京邱13347865183 ______ 概率嘛,当然得重复很多次试验才精确.你在一次试验中,概率的确随已知条件的增加而变化,虽然与直觉冲突,因为我们知道这个结果已经确定,并且早已在命运的掌握中.概率在揭示结果后就一无是处了.

应音砌3837概率,n重伯努利公式问题 -
蓝京邱13347865183 ______ 事件A发生的概率是p,那么A不发生的概率是1-p,进行n次重复的实验A发生k次,就有另外的n-k次没发生.并且n次实验中A发生k次和没发生n-k次是同时发生的,所以概率相乘. 事件A每次发生的概率肯定是独立的,所以那个划线部分的意思...

应音砌3837将一枚质量分布均匀的硬币抛掷5次,其中至少连续抛出2次正面朝上的概率是多少?
蓝京邱13347865183 ______ 我要纠正 利用补集思想解决,每次投掷都出现正反2种情况,抛掷5次,共出现2^5=32种情况,所以可以研究没有出现连续2次正面的组合情况. 第一种:没有正面 1种 第二种:只有一次正面 5种 第三种:两次正面不相邻 6种 第四种:三次正面不相邻 1种 没有出现连续2次正面的组合情况共有1+5+6+1=13种 所以,概率为(32-13)/32=19/32

应音砌3837根据概率论,抛出一枚均匀的硬币,其正面朝上和反面朝上的概率几乎相...
蓝京邱13347865183 ______ 不会增大或减小中奖概率,概率是一个固定值 无法变动.你说的那个是频率,某一段上面对应的中奖率,不会影响到前面或者后面实验概率.