相关系数r的计算公式化简
一、案例介绍
某医师测量了15名正常成年人的体重（kg）与CT双肾总体积（ml）大小，数据如下表所示。据此试分析两变量是否有关系？其方向与密切程度如何？
要分析两个定量数据之间是否有关系以及关系的方向和紧密程度，可以使用Pearson相关分析。使用Pearson相关分析，需要满足4个条件。
条件1：两变量均为定量数据。
条件2：两变量之间存在线性关系，通常使用散点图进行检验。
条件3：两变量均没有异常值。
条件4：两变量均符合正态分布。
在本案例中，体重和双肾总体积均为定量数据，满足条件1；条件2-4需要分别进行检验。
（1）线性关系检验
变量之间的线性关系通常使用散点图进行检验。散点图是通过使用两组数据构成的多个坐标点，判断两变量之间是否存在线性关系。将数据上传至SPSSAU系统，在【可视化】模块选择【散点图】，将“双肾总体积”拖拽到右侧“Y定量”分析框中，将“体重”拖拽到右侧“X定量”分析框中，然后点击开始分析，操作如下图：
SPSSAU输出散点图如下：
从散点图可以看出，体重和双肾总体积之间呈现出明显的线性关系，随着体重的增大，双肾总体积也不断增大。所以两变量满足条件2存在线性关系。
散点图除了查看是否存在线性关系，还可以查看是否存在异常值；不过通过散点图判断异常值具有很强的主观性，比如上图圈出来的点，无法做到准确判断，而Pearson相关系数易受异常值的影响，所以可以选择通过其他方式检验异常值，比如箱线图。
（2）异常值检验
使用箱线图可以直观识别数据的异常值，箱线图由5个点构成，分别是最大观察值、25%分位数（Q1）、中位数、75%分位数（Q3）、最大观察值，最大观察值和最小观察值的定义如下：
最大观察值=Q3+1.5IQR，IQR=Q3-Q1
最小观察值=Q1-1.5IQR，IQR=Q3-Q1
如果数据存在异常值——大于最大观察值或小于最小观察值，SPSSAU将该点以“原点”形式进行展示。
在SPSSAU【可视化】模块，选择【箱线图】，将两变量均拖拽到右侧“分析项(定量)”中，点击开始分析，操作如下图：
SPSSAU输出体重和双肾总体积的箱线图如下：
从箱线图可以看出，体重和双肾总体积两变量均不存在异常值，满足条件3。
若存在异常值，可以通过异常值汇总表格如下图，查看具体异常值个数以及异常值数字，对异常值进行删除等操作。
（3）正态性检验
两变量均需要满足正态性，正态性可以使用多种方式进行检验，比如直方图、P-P如/Q-Q图、峰度/偏度、正态性检验等。本案例选择正态性检验。在SPSSAU【通用方法】模块，选择【正态性检验】，将两变量拖拽到右侧“分析项(定量)”分析框中，然后点击开始分析。操作如下图：
SPSSAU输出正态性检验结果如下：
从上表可知，针对体重、双肾总体积进行正态性检验，样本量为15<50，所以使用Shapiro-Wlik正态性检验结果，具体来看，体重、双肾总体积正态性检验对应p值均大于0.05，未呈现出显著性，说明接受原假设（原假设为数据服从正态分布），即两变量均服从正态分布，满足条件4。
综上所述，本案例数据满足使用Pearson相关分析的条件，可以进行Pearson相关分析。
（4）Pearson相关分析
①相关系数计算
Pearson相关分析使用相关系数描述变量之间的相关关系，Pearson相关系数取值范围为[-1,1]，相关系数的绝对值越接近1，说明变量之间相关性越强；绝对值越接近0，相关性越弱。相关系数大于0，代表变量之间存在正相关；相关系数小于0，代表负相关。
Pearson相关系数的计算公式如下：
r=\frac{sum(X-overline{X})(Y-overline{Y})}{sqrt{sum(X-overline{X})^2}sqrt{sum(Y-overline{Y})^2}}
overline{X}=(43+74+51+…+54)/15=59.53
overline{Y}=(217.22+316.18+…+266.104)/15=266.104
sum(X-overline{X})(Y-overline{Y})=(43-59.53)*(217.22-266.104)+(74-59.53)*(316.18-266.104)+…+(54-59.53)*(252.08-266.104)=6301.038
sqrt{sum(X-overline{X})^2}=2555.733
sqrt{sum(Y-overline{Y})^2}=20270.495
r=\frac{6301.038}{sqrt{2555.733}sqrt{20270.495}}=0.8754
所以，手工计算得到体重和双肾总体积的Pearson相关系数为0.8754，说明两变量之间存在高度正相关关系。
接下来，介绍如何使用软件快速计算相关系数。
②软件计算
在SPSSAU【通用方法】模块，选择【相关分析】，将“体重”拖拽到右侧“分析项X”分析框中，将“双肾总体积”拖拽到右侧“分析项Y”分析框中，选择“Pearson相关系数”，然后点击开始分析，操作如下图：
SPSSAU输出Pearson相关分析结果如下：
从上表可以看出，体重和双肾总体积之间相关系数为0.8754，p<0.0,5，说明两变量存在显著正相关关系，即体重与双肾总体积之间存在高度正相关关系。
本案例研究体重与双肾总体积之间的关系情况，经检验，两变量均满足Pearson相关分析需要满足的4个条件。使用Pearson相关分析得到，体重与双肾总体积之间的相关系数为0.8754，p<0.05，说明两变量之间存在显著正相关关系，即体重越大，双肾总体积越大。
数据不满足正态性怎么办？
经过正态性检验，如果两个变量不符合正态分布，有以下三种选择：
①使用Spearman相关系数进行分析。
②对不服从正态分布的变量进行数据变换，如取对数等操作，对变换后的数据再进行检验。
③继续使用Pearson相关分析，如果对数据要求不是太严格，Pearson相关系数对不服从正态分布的数据具有一定抗性，可继续使用。
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