虚数z的共轭复数
高中数学:复数选择题等练习题计算8道题举例
●单项选择题:若复数z=(36+10i)/(23+ai)为纯虚数,则实数a的值为:( )。
A. 23 B. 414/5 C. -23 D.-414/5
解题过程:本题主要考察纯虚数概念,纯虚数是实部为0,虚部不为0的复数。对于本题,对复数z进行分母有理化有:
z=(36+10i)/(23+ai)
= (36+10i) (23-ai)/[(23+ai) (23-ai)]
=(36+10i) (23-ai)/(23²+a²)
=[(828-10a)+(230-36a)i]/(23²+a²),
则828-10a=0,即a=414/5,故选择答案B.
●单项选择题:若复数z满足20-2z=2z·i,则|z|=( )。
A.5 B.4√2 C. 20 D. 5√2
解题过程:对已知条件进行变形化简有:z=20/[2(1+i)],然后进行分母有理化z=20(1-i)/[2(1+i)(1-i)]=20(1-i)/ (2*2)=5(1-i)=5√2,则选择答案D.
●单项选择题:若复数z=69+i2211,则其共轭复数在复平面上对应点所在的象限为:( ),
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解题过程:复数所在复平面上所对应点的象限分析,取决于该复数实部与虚部的符号。本题z=69+i2211=69-i,则对应的共轭复数为:69+i,可知实部=69>0,虚部=1>0,所以该共轭复数对应的点在第一象限象限,即选择答案A.
●单项选择题:若i为虚数单位,则复数(6+8i)/(1+i)的实部和虚部之积为( ).
A.-28/4 B. 28/4 C. 28i/4 D.-28i/4.
解题过程:首先对复数表达式进行分母有理化,得到复数的一般表达式,进一步解析出复数的实部和虚部,最后相乘即可得到题目所求值对应的选项。
(6+8i)/(1+i)
= (6+8i) (1-i)/2
=[(6+8)+(8-6)i]/2,所以虚数的实部与虚部的乘积=(6+8)/2*(8-6)/2=(8²-6²)/4=28/4,故选择B.
●单项选择题:复平面内,复数z对应的点的坐标是(-3,42),则z的共轭复数为:( )。
A.\t3+42i B.3-42i C.-3+42i D.-3-42i.
解题过程:本题主要考察的是共轭复数的概念,z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数。根据本题题意,可知z=-3+42i,所以共轭复数为:-3-42i,即选择D.
●多项选择题:已知复数z满足z(√3+i)=-2i,z*表示z的共轭虚数,则下列正确的选项是:(AD)。
A.|z|=1, B.z的虚部为√3/2
C.z²+1=0 D.z²=z*
解题思路:根据题意z=-2i/(√3+i)=-2i(√3-i)/4=-i(√3-i)/2=(-1-√3i)/2,则|z|=(1/2)²+(√3/2)²=1,故答案A正确。
对于答案B,因为z的虚部=-√3/2,所以B错误。
根据题意有:z²=[(-1-√3i)/2]²=(-2+2√3i)/4=(-1+√3i)/2,则z²+1=(-1+√3i)/2+1=(1+√3i)/2≠0,所以答案C错误。对于答案D,有z的共轭复数z*=(-1+√3i)/2,刚好与z²相等,故正确,综上本题选择答案A和D.
●填空题:设z=(13+6i)/( 5+8i),则z的共轭复数为:
。
解题过程:本题主要知识点是共轭复数的计算,若z=a+bi,则Z=a-bi互为共轭复数。对于本题,复数是分数形式,所以变共轭复数不是将分子分母虚部的符号变成相反,而首先需对z进行有理化变成复数的一般表达式,再变虚部的符号得到共轭复数。
Z=(13+6i)/(5+8i)
=(13+6i)(5-8i)/[(5+8i)(5-8i)]
=(13+6i) (5-8i)/(5²+8²)
=(113+-74i) /(5²+8²)=(113+-74i)/ 89.
所以其共轭复数为:(113--74i)/ 89.
●计算题:设a,b为共轭复数,且(a+b)²-8abi=49-148i,求复数a,b。
解:根据题意,设a=x+yi,b=x-yi,则:
a+b=x+yi+x-yi=2x,
ab=(x+yi)(x-yi)=x²+y²;
代入已知式有:
(2x)²-8*(x²+y²)i=49-148i,则:
49=4x²,且8(x²+y²)=148,
可求出x=±7/2.
进一步由题目条件有:8*(49/4+ y²)=148,
y²=148/8-49/4=25/4,
可求出y=±5/2,
所以:a=7/2+5i/2,b=7/2-5i/2;
或者:a=-7/2+5i/2,b=-7/2-5i/2;
或者:a=7/2-5i/2,b=7/2+5i/2;
或者:a=-7/2-5i/2,b=-7/2+5i/2。
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丁舒具3731设i是虚数单位,.z是复数z的共轭复数,若 -
盛欧凝18739557395 ______ 设z=a+bi(a,b∈R),则 . z =a?bi, 由z? . z i+2=2z,得(a+bi)(a-bi)i=2(a+bi), 整理得2+(a2+b2)i=2a+2bi. 则 2a=2 a2+b2=2b ,解得 a=1 b=1 . 所以z=1+i. 故选A.
丁舒具3731i为虚数单位,复数 z= 2i 1 - i .(1)求复数z的实部与虚部之和;(2)复数z的共轭复数为 . -
盛欧凝18739557395 ______ (1)∵ z= 2i 1-i = 2i(1+i) (1-i)(1+i) = 2(i-1) 2 =-1+i ,…(3分) 故z的实部为-1,虚部为1,所以,z的实部与虚部之和为0.…(6分) (2)∵z的共轭复数为 . z =-1-i ,…(8分) |1- . z |=|2+i|= 2 2 + 1 2 = 5 .…(12分)
丁舒具3731复数z满足z(1+i)=2 - 2i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为______. -
盛欧凝18739557395 ______[答案] 由z(1+i)=2-2i,得 z= 2−2i 1+i= (2−2i)(1−i) (1+i)(1−i)= −4i 2=−2i. ∴复数z的共轭复数为2i. 故答案为:2i.
丁舒具3731已知i为虚数单位,.z是z的共轭复数,且满足:z -
盛欧凝18739557395 ______ 设z=a+bi(a,b∈R),由z+|. z |=2+i,得a+bi+ a2+b2 =2+i,则 a+ a2+b2 =2① b=1② ,把②代入①得,a+ a2+1 =2,解得a=3 4 . 所以z=3 4 +i,则|z|= (3 4 )2+1 =5 4 . 故选C.
丁舒具3731若复数z=1+i(i为虚数单位),.z是z的共轭复数,则z2 - .z2的虚部为______. -
盛欧凝18739557395 ______[答案] ∵z=1+i,∴ . z=1-i. ∴z2- . z2=(1+i)2-(1-i)2=2i-(-2i)=4i. ∴z2- . z2的虚部为4. 故答案为:4.
丁舒具3731纯虚数Z的共轭复数是 - z对吗 .如果错讲原因
盛欧凝18739557395 ______ 当然是了
丁舒具3731i的共轭复数是什么? - ? -
盛欧凝18739557395 ______ a-bi. 共轭复数,两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number).当虚部不为零时,共轭复数就是实部相等,虚部相反,如果虚部为零,其共轭复数就是自身(当虚部不等于0时也叫共轭虚数). 复数z的共...
丁舒具3731“共轭复数”中的“轭”字怎么读? -
盛欧凝18739557395 ______ “轭”读è 两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number).(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)复数z的共轭复数记作zˊ. 同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate).
丁舒具3731已知复数Z=1 - i(其中i是虚数单位),“z”(此z头上有一横)为Z的共轭复数,Z²/Z*“z”=( ) A.1 B. - 1 C. - i D.i -
盛欧凝18739557395 ______[答案] Z²=-2i Z*“z”=2 所以选c.-i
丁舒具3731求证:非零复数z是纯虚数的充要条件是z+z'=0;(z'表示z的共轭复数) -
盛欧凝18739557395 ______ 设z=a+bi(a,b∈R) z'=a-bi,∴z+z'=2a ∴z+z'=0,即2a=0,∴a=0,∴z=a+bi为纯虚数; z=a+bi是纯虚数,则a=0,∴z+z'=2a=0. 因此非零复数z是纯虚数的充要条件是z+z'=0