高中数学数列题讲解
大家都知道,彩票是一个数字游戏,因此觉得数学家对彩票有超乎普通人的理解。最近,菲律宾彩票开出的一组数字,真的引起了数学家的关注。
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01d20c82d925efacf7.png?size=1199x720)
这次开奖是在当地时间上周六晚,一共有433名投注者获得头奖。这种彩票的原理非常简单,就是55个数字球,随机抽出6个数字,按照投注者的数字对应的多少发奖。当天开奖之后,433个人惊喜获奖,他们平分了约2.4亿比索(合人民币2913.6万元)的奖金。
看起来这奖金也不怎么诱人,算下来每个人还不到7万人民币。但未中奖的网友注意到中奖序列的时候,发现了奇怪的事情。这6个数字依次是09-45-36-27-18-54,咱们从小就背过99乘法表,这不就是6个9的倍数吗!
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01e56b3cfdbbf7617e.png?size=1278x852)
尽管政府运营的菲律宾慈善抽奖办公室(PCSO)已经检查了机器和球的称重,并且在抽奖现场也有观察员在场监督抽签程序,抽奖过程完全符合规定,这个数字的出现仅仅是个巧合。但许多人仍然坚持认为,这个序列一定是黑幕。
那么,我们单纯从数学的角度来思考:这种情况到底有没有可能发生呢?如果有可能,概率到底有多大呢?
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t012483baf729b9783b.jpg?size=1280x802)
悉尼科技大学数学科学副教授Stephen Woodcock最近被问到了这个问题,他提出了自己的看法。其实也不需要数学家,我们普通人如果冷静分析,也有可能发现其中的门道。
如果你还掌握着高中数学概率论的知识,那么解答这个问题并不难。我们知道,这种彩票中数字出现的顺序不影响中奖的级别,这意味着任何一组6个数字的序列出现的概率都是(6/55)*(5/54)*(4/53)*(3/52)*(2*51)*(1/50),结果是1/28,989,675。也就是说,一个人随机买一注彩票,中奖的概率就只有差不多1/3000万。
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01f5734f4ffe32d295.jpg?size=1280x936)
据估计,这一期6/55大乐透的投注者一共买了差不多1000万张彩票。单纯按照上面的概率来看,这一期只有1/3个人能中奖;按照433人都是随机购买并同时中奖来看,全世界人一人买一注都不够中这么多奖的。
难怪菲律宾人觉得有黑幕。
但买彩票并不是只和数字有关,还涉及到人类行为学和心理学等知识。
比如有研究人员曾经进行过调查,让受试者随机想一个数字。结果发现,随机想到的数字是奇数的人比偶数的人多了不止一倍!这意味着,人类在面对数字的时候确实无法做到绝对随机,而是带有一定的主观色彩。
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t011c7dbd9f886ca2cc.jpg?size=2048x1152)
以菲律宾的这个6/55大乐透为例:如果让你买这种彩票,难道你会买“01-02-03-04-05-06”这种数列吗?显然几乎是不可能的。大家都会选择一些自认为更有概率中奖的数列,而人与人之间的思维又存在着一定的相似性,所以某些数字序列会更受欢迎。
然而,还是根据高中数学概率论的知识,其实不论是“01-02-03-04-05-06”这个序列(顺序随机),还是“09-45-36-27-18-54”这个序列,其实跟我随机在键盘上打出来的“04-41-34-42-14-13”序列,中奖概率是完全相同的,都是1/28,989,675。
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01d616182e9cd77b6b.png?size=895x530)
这就是很多人对概率的误解,认为按顺序排列的数字比随机数字更难出现。现实生活中还有一个例子,就是抛硬币的时候连续出现正面,很多人就会想:下一次总该是背面了吧?实际情况是,不论前面的情况怎么样,下一次出现背面的概率仍然是1/2。
相比之下,“09-45-36-27-18-54”也遵循着同样严格的序列,但看起来比“01-02-03-04-05-06”要随机得多,以至于投注这个序列的人比投注“04-41-34-42-14-13”这种超级随机序列的人多。因此,确实存在着更多人选择这个序列的可能性,如果恰好开奖的时候开出了这个序列,就会出现很多人中奖的情况了。
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t016f33a8466938111f.jpg?size=972x494)
换句话说,从数学以及心理学等方面综合考虑,出现这种情况并非完全不能解释。
正因如此,有一些专家就曾经给出过他们的建议:与其买这种有一定规律性的序列,不如找个什么软件随机生成一组数字。二者中奖的概率是相同的,相比之下,如果随机数列获奖了,就能少很多投注者来瓜分奖金。
实际上,这已经不是全世界范围内第一次出现这么奇葩的组合了。2018年的时候,英国的一种类似的彩票在开奖的时候,开出的6个数字中有5个都是7的倍数。更夸张的是南非在2020年的一次彩票开奖,甚至开出了“5、6、7、8、9、10”的序列,令人感到匪夷所思,当时也有不止一个人获奖。
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t018ff2f352e2a551a3.jpg?size=1920x1080)
你可能仍然对此表示疑惑,认为这种概率太小,怎么恰好就发生了?
别忘了,全世界又不止菲律宾卖彩票,许多国家都卖彩票,并且每年开奖很多次,这么多年的时间里,开奖的总次数已经非常多了!也就是说,虽然概率很小,但只要基数足够大,发生的可能性就会升高。
更何况,现在信息这么发达,只要出现类似匪夷所思的数列,媒体肯定都会宣传。也就是说,我们看到的这几次,几乎就是全世界范围内仅有的几次罕见数列的。按照这个次数除以这么多年来全世界彩票的开奖次数,其实概率确实是非常低的。
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t014414a01ad736845d.jpg?size=1200x675)
总而言之,就像我们刚才说的,不论是这种等差数列的开奖结果还是完全无规律的开奖结果,概率都是非常低的。对我来说,考试的时候连四选一的选择题我都蒙不对,这种小概率事件还是别参加了……
","force_purephv":"0","gnid":"9be3ce2bbbfda3ad9","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"720","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01d20c82d925efacf7.png","width":"1199"},{"desc":"","height":"852","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01e56b3cfdbbf7617e.png","width":"1278"},{"desc":"","height":"802","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t012483baf729b9783b.jpg","width":"1280"},{"desc":"","height":"936","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01f5734f4ffe32d295.jpg","width":"1280"},{"desc":"","height":"1152","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t011c7dbd9f886ca2cc.jpg","width":"2048"},{"desc":"","height":"530","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01d616182e9cd77b6b.png","width":"895"},{"desc":"","height":"494","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t016f33a8466938111f.jpg","width":"972"},{"desc":"","height":"1080","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t018ff2f352e2a551a3.jpg","width":"1920"},{"desc":"","height":"675","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t014414a01ad736845d.jpg","width":"1200"}]}],"original":0,"pat":"art_src_0,socialc,fts0,sts0","powerby":"hbase","pub_time":1665212460000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/1e26a790bf4e44894016933850bffb4a","redirect":0,"rptid":"ee26d386a733fc75","s":"t","src":"姿势分子","tag":[{"clk":"kinternational_1:菲律宾","k":"菲律宾","u":""},{"clk":"kinternational_1:彩票","k":"彩票","u":""}],"title":"罕见!菲律宾彩票开出等差数列,网友大喊是黑幕,数学家怎么说?
逯董钧2172高中数学数列求和、1、错位相减法 2、裂项相消法 3、倒序相加法 4、分组求和法 跪求这四种方法求和的典例和解析、原理、讲清楚点、让我看懂给分、 谢... -
却平祥13075616638 ______[答案] 1.错位相减法 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1) 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n 2.裂项相消法 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) Sn=1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1) ...
逯董钧2172高一数学数列的解题方法?什么是累积法 ? 错位相减法?还有裂项相消法?等等. -
却平祥13075616638 ______[答案] http://wenku.baidu.com/view/35b96ce94afe04a1b071defe.htmlhttp://wenku.baidu.com/view/f9594347a8956bec0975e3a3.html?from=rec&pos=1&weight=10&lastweight=7&count=5http://wenku.baidu.com/view/3aa793f69e31...
逯董钧2172关于高中数学数列计算:an+1 - an=9n+1(n+2)/10n+1 - 9n(n+1)10n=?求教完整计算过程 -
却平祥13075616638 ______[答案] a(n+1)-an=9(n+1)(n+2)/[10(n+1)] -9n(n+1)/10n =9(n+2)/10 -9(n+1)/10 =[9(n+2)-9(n+1)]/10 =(9n+18-9n-9)/10 =9/10
逯董钧2172高中数学的数列的解题方法,技巧 -
却平祥13075616638 ______ 由于无法编辑公式,具体方法,看下图: 知识点三:数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,...
逯董钧2172高中数学数列解答{an}{bn}满足a1=1/4,an+bn=1,b(n+1)=bn/1 - an -
却平祥13075616638 ______[答案] a(n+1)+b(n+1)=1,b(n+1)=(1-an)/(1-an²)=1/(1+an),a(n+1)+1/(1+an)=1, a(n+1)an+a(n+1)+1=1+an, a(n+1)an+a(n+1)=an, 1/a(n+1)-1/an=1, 数列{1/an}为等差数列,公差为1,首项为4, 1/an=4+n-1=n+3, an=1/(n+3), b(n+1)=1/(1+an),b(n+1)=1/[1+1/(n+3)]=(n...
逯董钧2172请教前辈:高中数学问题 - 数列系列问题 - 1我高三了.现在正复习数列,有很多不懂的,因为高一没认真,请知道的写出详细解题过程:已知数列{an}中,A1=b... -
却平祥13075616638 ______[答案] 已知:n=1时,A1=b,所以n=1成立 又因为:A1=b 则 代入 A(n+1)=-1/(An+1)可知 A2=-1/(b+1) A3=-(b+1)/b A4=b 所以 依次类推: A1=A4=A7=……A(3n+1) n∈Z
逯董钧2172高中数学数列题 求解析过程及答案 感激不尽 -
却平祥13075616638 ______ (1)a1=1/3,公比q=1/3 所以:an=1/(3^n) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(1/3)(1-1/3^n)/(2/3)= (1-1/3^n)/2 =(1-an)/2(2) bn=log(3)a1+log(3)a2+…+log(3)an =log(3)[a1*a2*…*an] =log(3)[1/3*1/(3^2) *…*1/(3^n) ] =log(3)[1/3^(1+2+…+n) ] =-log(3)[3^(1+2+…+n) ] =-(1+2+…+n) =-n(1+n) /2
逯董钧2172高中数学压轴数列题证明:(2/3)(8/9)(26/27)(80/81)…[(3^n) - 1]/3^n>1/2 -
却平祥13075616638 ______[答案] 设原式以 2/3 为底的对数=A A= log(2/3)+log(8/9)+log(26/27)+. 对于任意正整数n -2n+1 > -3n 3^(-2n+1) - 3^(-3n) > 0 1 -3^(-n+1) +3^(-2n+1) -3^(-3n) > 1-3^(-n+1) [1-3^(-n)]^3 > 1-3^(-n+1) 1-1/(3^n) > {1-1/[3^(n-1)}^(1/3) 所以 8/9 > (2/3)^(1/3) 26/27 > (8/9)...
逯董钧2172数学数列高考题!!要答案讲解
却平祥13075616638 ______ am+n=am+an或者am+n=am+an+1 a2=0,而且a2=a1+a1或者a2=a1+a1+1 因为an每一项都为非负实数,那么a1=a2=0 a3>0,a3=a2+a1+1=1 a4=a3+a1=a2+a2=1(楼主应该能推出这个吧) a100=a10+a90(+1),a90=a10+a80(+1) 最后一定能...
逯董钧2172高中数学解数列问题有哪些常用方法 -
却平祥13075616638 ______ 数列问题解题方法技巧 1.32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333332633536判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数. (2)通项公式法: ①若 = +(n-1)d= ...