高中数学数列题讲解

大家都知道，彩票是一个数字游戏，因此觉得数学家对彩票有超乎普通人的理解。最近，菲律宾彩票开出的一组数字，真的引起了数学家的关注。

这次开奖是在当地时间上周六晚，一共有433名投注者获得头奖。这种彩票的原理非常简单，就是55个数字球，随机抽出6个数字，按照投注者的数字对应的多少发奖。当天开奖之后，433个人惊喜获奖，他们平分了约2.4亿比索（合人民币2913.6万元）的奖金。

看起来这奖金也不怎么诱人，算下来每个人还不到7万人民币。但未中奖的网友注意到中奖序列的时候，发现了奇怪的事情。这6个数字依次是09-45-36-27-18-54，咱们从小就背过99乘法表，这不就是6个9的倍数吗！

尽管政府运营的菲律宾慈善抽奖办公室(PCSO)已经检查了机器和球的称重，并且在抽奖现场也有观察员在场监督抽签程序，抽奖过程完全符合规定，这个数字的出现仅仅是个巧合。但许多人仍然坚持认为，这个序列一定是黑幕。

那么，我们单纯从数学的角度来思考：这种情况到底有没有可能发生呢？如果有可能，概率到底有多大呢？

悉尼科技大学数学科学副教授Stephen Woodcock最近被问到了这个问题，他提出了自己的看法。其实也不需要数学家，我们普通人如果冷静分析，也有可能发现其中的门道。

如果你还掌握着高中数学概率论的知识，那么解答这个问题并不难。我们知道，这种彩票中数字出现的顺序不影响中奖的级别，这意味着任何一组6个数字的序列出现的概率都是（6/55）*（5/54）*（4/53）*（3/52）*（2*51）*（1/50），结果是1/28,989,675。也就是说，一个人随机买一注彩票，中奖的概率就只有差不多1/3000万。

据估计，这一期6/55大乐透的投注者一共买了差不多1000万张彩票。单纯按照上面的概率来看，这一期只有1/3个人能中奖；按照433人都是随机购买并同时中奖来看，全世界人一人买一注都不够中这么多奖的。

难怪菲律宾人觉得有黑幕。

但买彩票并不是只和数字有关，还涉及到人类行为学和心理学等知识。

比如有研究人员曾经进行过调查，让受试者随机想一个数字。结果发现，随机想到的数字是奇数的人比偶数的人多了不止一倍！这意味着，人类在面对数字的时候确实无法做到绝对随机，而是带有一定的主观色彩。

以菲律宾的这个6/55大乐透为例：如果让你买这种彩票，难道你会买“01-02-03-04-05-06”这种数列吗？显然几乎是不可能的。大家都会选择一些自认为更有概率中奖的数列，而人与人之间的思维又存在着一定的相似性，所以某些数字序列会更受欢迎。

然而，还是根据高中数学概率论的知识，其实不论是“01-02-03-04-05-06”这个序列（顺序随机），还是“09-45-36-27-18-54”这个序列，其实跟我随机在键盘上打出来的“04-41-34-42-14-13”序列，中奖概率是完全相同的，都是1/28,989,675。

这就是很多人对概率的误解，认为按顺序排列的数字比随机数字更难出现。现实生活中还有一个例子，就是抛硬币的时候连续出现正面，很多人就会想：下一次总该是背面了吧？实际情况是，不论前面的情况怎么样，下一次出现背面的概率仍然是1/2。

相比之下，“09-45-36-27-18-54”也遵循着同样严格的序列，但看起来比“01-02-03-04-05-06”要随机得多，以至于投注这个序列的人比投注“04-41-34-42-14-13”这种超级随机序列的人多。因此，确实存在着更多人选择这个序列的可能性，如果恰好开奖的时候开出了这个序列，就会出现很多人中奖的情况了。

换句话说，从数学以及心理学等方面综合考虑，出现这种情况并非完全不能解释。

正因如此，有一些专家就曾经给出过他们的建议：与其买这种有一定规律性的序列，不如找个什么软件随机生成一组数字。二者中奖的概率是相同的，相比之下，如果随机数列获奖了，就能少很多投注者来瓜分奖金。

实际上，这已经不是全世界范围内第一次出现这么奇葩的组合了。2018年的时候，英国的一种类似的彩票在开奖的时候，开出的6个数字中有5个都是7的倍数。更夸张的是南非在2020年的一次彩票开奖，甚至开出了“5、6、7、8、9、10”的序列，令人感到匪夷所思，当时也有不止一个人获奖。

你可能仍然对此表示疑惑，认为这种概率太小，怎么恰好就发生了？

别忘了，全世界又不止菲律宾卖彩票，许多国家都卖彩票，并且每年开奖很多次，这么多年的时间里，开奖的总次数已经非常多了！也就是说，虽然概率很小，但只要基数足够大，发生的可能性就会升高。

更何况，现在信息这么发达，只要出现类似匪夷所思的数列，媒体肯定都会宣传。也就是说，我们看到的这几次，几乎就是全世界范围内仅有的几次罕见数列的。按照这个次数除以这么多年来全世界彩票的开奖次数，其实概率确实是非常低的。

总而言之，就像我们刚才说的，不论是这种等差数列的开奖结果还是完全无规律的开奖结果，概率都是非常低的。对我来说，考试的时候连四选一的选择题我都蒙不对，这种小概率事件还是别参加了……

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