arctan+x

函数y=arctan(3x+1)+2x的一阶和二阶三阶导数计算

主要内容：

本文主要用复合函数、和函数和函数商求导法则，并用幂函数、反正切函数的导数公式，介绍函数y=arctan(3x+1)+2x的三阶导数计算步骤。

导数公式：

本题主要用到的导数公式如下，其中c为常数：

A.若函数y=c，则导数dy/dx=0；

B.若函数y=cx，则导数dy/dx=c；

C.若函数y=arctanx，则导数dy/dx=1/(1+x^2)。

一阶导数计算：

因为：y=arctan(3x+1)+2x，由反正切和一次函数导数公式有：

所以：dy/dx=3/[1+(3x+1)^2]+2。

二阶导数计算：

因为：dy/dx=3x /[1+(3x+1)^2]+2,由函数商的求导法则有：

所以：d^2y/dx^2=-3*2(3x+1)*3/[1+(3x+1)^2]^2+0，

=-18(3x+1)/ [1+(3x+1)^2]^2。

三阶导数计算：

因为： d^2y/dx^2=-18 (3x+1)/ [1+(3x+1)^2]^2,

所以：

d^2y/dx^2=-18*{3[1+(3x+1)^2]^2-(3x+1)*2*[1+(3x+1)^2]*6(3x+1)}/ [1+(3x+1)^2]^4

=-18*{3 [1+(3x+1)^2]-(3x+1)*2*6 (3x+1)}/ [1+(3x+1)^2]^3

=-18*3{ [1+(3x+1)^2]-4(3x+1)(3x+1)}/ [1+(3x+1)^2]^3

=-18*3{ [1+(3x+1)^2]-4(3x+1)^2}/ [1+(3x+1)^2]^3

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=18*3 [3(3x+1)^2-1] / [1+(3x+1)^2]^3。

沃茂琳794已知arctan(1+x)+arctan(1 - x)=1/4π,则arccos(1/2π)的值是已知arctan(1+x)+arctan(1 - x)=1/4π,则arccos(1/2π)的值是A - 1/3π或1/3π B - 1/4π或1/4π C 1/4π或3/4π ... -
荆堂翠19133932524 ______[答案] tan[arctan(1+x)]=1+xtan[arctan(1-x)]=1-x所以tan[arctan(1+x)+arctan(1-x)]=[(1+x)+(1-x)]/[1-(1+x)(1-x)]=tan1/4π=1所以2/x^2=1x^2=2arccos(x/2)=arccos(±√2/2)arccos(√2/2)=1/4π arccos(-√2/2)=...

沃茂琳794用导数证明 arctan x+arccot x=兀/2……(要用导数证明等于π/2) -
荆堂翠19133932524 ______[答案] 令F(x)=arctanx+arccotx,则F'(x)=1/(1+x^2)+(-1/(1+x^2))=0, 因此F(x)是常数函数. 注意到F(1)=arctan1+arccot1=pi/4+pi/4=pi/2, 因此F(x)恒等于F(1)=pi/2,即 arctanx+arccotx=pi/2.

沃茂琳794函数求导.y=arctan(x+1)/(x - 1) -
荆堂翠19133932524 ______[答案] y=arctan(x+1)/(x-1) y'=1/[1+(x+1)^2/(x-1)^2]*[(x+1)/(x-1)]' =1/[1+(x+1)^2/(x-1)^2]*[(x-1)-(x+1)]/(x-1)^2 =-2/[(x+1)^2+(x-1)^2] =-1/(x^2+1)

沃茂琳794设y=arctan(x+y),求他一阶二阶导数 -
荆堂翠19133932524 ______[答案] 这个是隐函数的问题,就是说没有写成:明显的y和x之间的关系式,比如y=arctan(x).但是可以用隐函数的求导法则:①两边同时对x求导,(求导实际上也是一种运算),得到:dy/dx=1/[1+(x+y)^2] * [1+dy/dx] -------------这里...

沃茂琳794设z=arctan(x+y),则σz/σy=? -
荆堂翠19133932524 ______[答案] 对y求偏导时,把x当常数 σz/σy=1/[1+(x+y)²]

沃茂琳794证明:当x >0时,arctan x+1/x>π/2 -
荆堂翠19133932524 ______[答案] f'(x)=1/(1+x^2)-1/x^2=-1/(1+x^2)x^2f(x)在x>0上单调递减 lim(x趋近于正无穷)f(x)=π/2+0=π/2 ∴arctan x+1/x>π/2

沃茂琳794arctan (e的x次)+arctan(e的 - x次)的和是π/2吗?为什么? -
荆堂翠19133932524 ______[答案] 是的 因为arctanx+arctan(1/x)=π/2 利用导数来证明,会比较简单一些. 设f(x)=arctanx+arctan(1/x) 则f'(x)=1/(1+x^2) + 1/[1+(1/x)^2] * (1/x)' =1/(1+x^2) + [-1/(1+x^2)] =0 因此f(x)是一个常数,令x=1代入 则f(x)=f(1)=arctan1+arctan1=pi/4 + pi/4 =pi/2 证毕

沃茂琳794arctan(e^x)+arctan(e^ - x) 这个怎么算啊 这个是相当于直接是两个角度加起来吗 -
荆堂翠19133932524 ______[答案] ∵tan(arctan(e^x)+arctan(e^-x)) =(tan(arctan(e^x))+tan(arctan(e^-x))/(1-tan(arctan(e^x))·tan(arctan(e^-x)) =(e^x+e^-x)/(1-e^x·e^-x) =(e^x+e^-x)/(1-1) =∞ ∴arctan(e^x)+arctan(e^-x)=2kπ+π/2

沃茂琳794求y=arctanx+arctan(1 - x)/(1+x)的值 -
荆堂翠19133932524 ______[答案] 求y=arctanx+arctan[(1-x)/(1+x)]的值 tany=[tan(arctanx)+tanarctan(1-x)/(1+x)]/[1-tan(arctanx)tanarctan(1-x)/(1+x)] =[x+(1-x)/(1+x)]/[1-x(1-x)/(1+x)]=[x(1+x)+(1-x)]/[(1+x)-x(1-x)]=(x²+1)/(1+x²)=1 故y=π/4.

沃茂琳794y=arctan(1 - x)/(1+x)的微分 -
荆堂翠19133932524 ______[答案] y=arctan[(1-x)/(1+x)]=arctan[-1+2/(1+x)]y'=[-1+2/(1+x)]' * (1/(1+(-1+2/(x+1))^2)=-2/(1+x)^2*[1/(1+(1-x)^2/(x+1)^2)=-2/[(1+x)^2+(1-x)^2]=-2/(2+2x^2)=-1/(1+x^2)