作者：是你们的兮兮吖

零、前言の碎碎念

大家好吖，我是你们的小兮兮('')~

最近要临近推迟的期末考试了，故而打算再浅浅摆烂几天（bushi）。

恰巧上次帮人民邮电出版社异步社区的老师们写过《少年数学实验》的安利。

老师们表示最近还有一本有意思的新书可以给我再康康，也是同一种风格的书籍（确实两本书封面都挺像的），并且也是张景中院士参与编写的，故而给我又赠了一本《仁者无敌面积法——巧思妙解学几何》。

这本书确实也有很多内容我觉得特别精彩，可以与大家一同探究，故而便打算继续写一篇文章，同时以安利本书~

在此打算先简单介绍全书，然后在各章节内容中穿插一些我的所思所想。

一、《仁者无敌面积法》

1.作者简介

首先说说本书的两位作者：

第一位是张景中院士，计算机科学家、数学家，中国科学院院士，广州大学计算机教育软件研究所所长、教授、计算机学科和数学学科博士生导师。主要从事机器证明、教育数学、距离几何及动力系统研究。

这也能说明为什么张院士之前给中学生写了一本《少年数学实验》，这确实和他的方向很对口。之前也有幸在去年的5月参加了B站和中二所合办的活动，我能感觉到的是，优秀的科普是能让大家“看得见，摸得着的”，这种获得感能极大的拉近科学与普通大众之间的距离。而上次提到的那本书恰是对于中学生而言最能有“获得感”的科普书，能结合所学知识与软件操作感知数学之美，多么美好吖。

相信数圈里知道剑君或者甚至是来参加过剑君讨论班（数学知识介绍）的朋友们肯定了解剑君对于数学知识的“可解释性”的深深追求...

再来介绍第二位作者——彭翕成，华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心助理工程师。

可能许多朋友对这位老师有点陌生，但别急，我再介绍他之前的两部作品你们就知道了：

第一本叫《不等式探秘》（也是和张院士一起合著的），在中学竞赛圈子也算是小有名气；

第二本叫《奥林匹克小丛书——点几何解题》（还是和张院士一起合著的），我相信小蓝书应该是只有少数朋友不知道了。

2.书籍目录

3.关于书名

相信很多朋友看到书名的第一时间，会和我一样产生一种好奇“为什么是‘仁者无敌’面积法呢？”

作者彭翕成给出了答案：

《论语》有云:“智者乐水，仁者乐山；智者动，仁者静；智者乐，仁者寿。”仁者心境平静、豁达开朗，宽容仁厚，能从山水之中找到自己的欢乐，坦然面对人生，自然长寿！
梁惠王曾向孟子请教冶国之道，孟子回合道:“男者无俱，智者无惑，诚者有信，仁者无敌！”仁者无敌，是指有仁爱之心的人无敌于天下。
今天，仁者无敌已经是一个意思相当稳定的成语。
本书书名则另有解释，仁者寿，与世无争；面积法历史悠久，用仁者为喻比较形象。长期以来，面积法没有受到足够的重视，直到数学机械化的研究工作深入之后，我们才发现古老的面积法能够形成解题的算法，并且所得的机器证明是可读的，从而结束了几何证题无定法的局面。因此，说仁者无敌面积法，有其道理。

下面再来康康面积法的一个简单介绍：

值得注意的是，严格定义面积是测度论的主要内容，而本书主要内容仅仅只是在中学范畴内谈论面积法。

二、对于本书的结构的一些理解

对于完全相同的内容来说，作者采取什么样的顺序进行安排，极大程度上决定了作者想要传达出的思想，每一种组合都将蕴含着作者的小心机（当然也有可能是夹私货），这也能能解释高等代数/线性代数为什么国内外的教材虽然说的知识感觉都差不多，但教材内知识的编排顺序却往往大相径庭。

对于本书而言，我根据个人这几天对它的阅读，在此对其结构谈一些个人的浅薄理解（如果意见不同自然可以友善讨论，叠甲）：

1.预热——第1章：面积法与勾股定理；

2.方法手段的引入——第2章：共边定理、共角定理和消点法，第3章：共边定理的两种变式，第4章：等积变换，第5章：面积割补，第6章：面积法与数形结合；

3.可以解决的问题类型——第7章：面积问题，第8章：线段问题，第9章：角度问题，第10章：面积法与不等式；

4.一些经典问题——第11章：面积法与三角恒等式，第12章：海伦—秦九韶公式，第13章：托勒密定理，第14章：三角形内一点问题；

5.高等背景下的面积法——第15章：有向面积，第16章：面积法的局限性，第17章：高等数学与面积法。

这么一通读下来，实际上对于中学范围内的面积处理方式也能了解个七到八成，而且这个结构的合理之处是既有方法的介绍，又有不同的问题类型以供参考，还提供了经典的问题以作为面积法的应用，最后再又拔高，谈论更高层面的面积法的应用。

下面再聊聊全书我印象深刻的一些部分~

三、各章节内我印象深刻的一些地方

因为本文主要还是以推荐分享为主，故而是无法面面俱到地完整的传达全书的内容，在此只能以兮兮个人的喜好简单谈论一些我认为意义深刻且有意思的点：

第1章：面积法与勾股定理

关于勾股定理，最印象深刻的一张图莫过于赵爽弦图，还成了第24届国际数学家大会会标的主要设计。

下面这个利用弦图解方程真的很妙：

然后本书其中一个令我印象深刻的勾股定理的证明方法，竟然和我自己的书原本预选的一个习题的思路与图重合了（虽然最后没有用这个题）。

题目是：试用下图，证明余弦定理。

这道题大家可以尝试来证明一下，其实不太难，做一下面积的转化即可。

在证明完余弦定理后，取角度为直角即证明勾股定理。

第2章：共边定理、共角定理和消点法

如果有对向量的奔驰定理熟悉的朋友，估计可以发现这里的“共边定理”恰好是奔驰定理证明的关键步骤之一。

第3章：共边定理的两种变式

嗯，熟悉高中向量知识的同学，此时应该会联想到等和线，或者是上面奔驰定理的下一步证明：

当然实际上也可以用其来证明“张角定理”：

这是我书籍第二章的第4.1节

第4章：等积变换

我国数学史上最著名的等积变换应该莫过于——祖暅原理！

祖胞原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等。

幂势既同，则积不容异！

祖暅用它成功搞定了球的体积公式。

第5章：面积割补

这一章又涉及到一个我国古代刘徽《九章算术》里的“出入相补原理”。

出入相补（又称以盈补虚）原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。“勾股各自乘，并，而开方之，即弦。勾自乘为朱方，股自乘为青方，另出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”

这里我想到了3B1B上期视频里的一个“错误”（想起我最早看到这个问题时，是在我4年级学校让我们订的《作文大王》杂志上）。

有一些拼图碎片，而仅凭将它们重新摆放，似乎你就可以凭空得到更大的面积。

聪明的你能看出来为什么会这样么？

第6章：面积法与数形结合

上帝那本由精妙解法构成的大书中的“无字证明”部分，都属于这个章节讨论的范围内。

第7章：面积问题

莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理。将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

此定理以优美的结论和高难度的证明闻名于世，是由美籍英国数学家莫利（Frank Morley）于1900年发现的。

第8章：线段问题

由于面积比和线段比保持仿射不变性，故而站在高等几何的角度来看，本章的比例问题则显得更简单。

第9章：角度问题

知道这一个结论的话，若还了解向量的叉乘公式计算面积的话，在平面上已知四点坐标计算凸四边形面积将变得简单（甚至能用行列式写）。

一个联想，看完这一章的朋友可以尝试一下之前知乎很火的“角格点”问题。

第10章：面积法与不等式

这一节有意思的东西太多，无法一一列举了，我在此附上一个我高中的妙证：

第11章：面积法与三角恒等式

这个问题的代数证明超级简单，但是从几何证明来看可以发现并不简单，但这样巧妙的证明也挺有意思的：

第12章：海伦—秦九韶公式

分享一个有意思的构造：

我想到了下方文章的第9题：

第13章：托勒密定理

很标准的介绍了托勒密定理，张角定理，线段上四点的欧拉定理。

第14章：三角形内一点问题

对于这种比例问题，我想到了向量里的杠杆法（我个人的书中第三章开头部分也会有介绍）：

第15章：有向面积

向量的奔驰定理表示很淦！

一个无端联想（今天正好也在复习复变函数）：

第16章：面积法的局限性

可以发现要构造出这个例子的面积法会比构造出它的的代数证明困难的多：

令 1+2++n=n(n+1)2 ；

所以 3S=3(12+22++n2)=(2n+1)n(n+1)2 ；

则 S=12+22++n2=n(n+1)(2n+1)6 .

故而面积法也不是万能的。

第17章：高等数学与面积法

这一章分别提到了微积分、线性代数、概率论中的面积法，全文都很有意思。

一个无端联想是——贝特朗奇论（貌似和第16章会更相关？）。

四、最后的一些想法

对于本书而言，如果是对平面几何特别感兴趣的初中生，那么我特别安利，因为市面上很少能找到这么既有高水平的解题指导又特有意思的介绍面积法的书籍了，看完本书也能学到不少平面几何方法与技巧。

而如果是高中生而言，对于平面几何感兴趣的竞赛省而言，也特别安利，当然也同样安利小蓝书的第14本。而如果是一般的高中生，本书对于应试的帮助是不大的，不过也同样可以作为一本积极向上的娱乐书籍供以聊以自乐。

好啦，以上是本文的全部内容，感谢看到此处的你~

希望你也能有所收获，通过本文能了解到这本好书~

祝君好运~

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篇二：【安利向】中学竞赛er不可错过的《仁者无敌面积法》

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余钩侧13747539908 ______ guaqian是汉语拼音;挂欠,拖欠 的意思. 'er 二,Ⅱ,②,贰 望有帮助