ln+1-x+分之一的定义域
函数y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的性质
主要内容:
本文主要介绍函数y=1ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质,并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。
函数定义域:
根据函数特征,函数主要由对数和分数函数组成,则根据对数函数和分数函数定义要求,有:
(9+1x)/1x>0,即不等式解集等同于x(9+x)>0,则x>0或者x<-9, 所以函数的定义域为:(-∞,-9)∪(0,+∞)。
函数的单调性:
本例主要通过函数导数来解析函数的单调性,步骤如下:
∵y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)
=1[ln(9+x)-lnx]-9/(9+x),
∴dy/dx=[1/(9+x)-1/x]+9/(9+x)^2
=[x-(9+x)]/[x(9+x)]+9/(9+x)^2
=9{1/(9+x)^2-1/[x(9+x)]}
=-81/[x(9+x)^2]。
可知函数的单调性与x的符号有关,即:
(1)当x∈(0,+∞)时,即x>0,此时dy/dx<0,则函数为减函数。
(2)当x∈(-∞,-9)时,即x<0,此时dy/dx>0,则函数为增函数。
进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。
函数的凸凹性:
∵dy/dx=-81/[x(9+x)^2]
∴d^2y/dx^2=81*[(9+x)^2+2x(9+x)]/\n[x^2(9+x)^4]
=81*[(9+x)+2x]/\n[x^2(9+x)^3]
=81*(9+3x)/ [x^2(9+x)^3]
令d^2y/dx^2=0,则有9+3x=0,即x=-3,
此时根据函数的定义域,函数的凸凹性及凸凹区间如下:
(1)当x∈(0,+∞)时,有(9+3x)>0且(9+x)^3>0,则d^2y/dx^2>0,所以此时函数为凹函数。
(2)当x∈(-∞,-9)时,有(9+3x)<0且(9+x)^3<0,则d^2y/dx^2>0,所以此时函数为凹函数。
综合可知函数在定义区间上均为凹函数。
函数的极限:
根据函数的定义域,函数的主要特征极限如下:
Lim(x→+∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;
Lim(x→-∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;
Lim(x→-9-) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞;
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Lim(x→0+) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞。
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鲁查矿1263x - 1分之一减去lnx分之一求极限 -
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