级数an收敛+an+1收敛吗

陶哲轩又发新论文了！

这也是时隔一年，他再次独立发表新论文。（arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月）

这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。

它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）提出的一个交错素数级数猜想，在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下，是成立的。

（当然，哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想，因此这项研究只是部分证明，并没有完全解决）

这项研究，还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。

一起来看看。

证明了什么样的猜想？

核心来说，这篇新论文要证明的，是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。

这个猜想与一个长这样的交错级数有关，其中pn是第n个素数：

但交错级数并不一定收敛，因此需要具体级数具体判断，这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型，即an是素数pn的倒数，这个级数是收敛的。

不过，还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。

哈代-李特尔伍德素数k元组猜想，由英国科学家哈代和李特尔伍德提出，它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。

猜想认为，存在两个绝对常数ε>0和C>0，对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组：

使得这个式子成立：

不过，这个猜想至今尚未解决。

这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上，证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步：

首先，基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。

由于证明这个猜想，实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。

转化为这个问题之后，实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。

因此，接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上，估计了短区间内k个素数的概率。

然后，陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型，来建模素数分布。

最后基于这个模型建立的分布证明猜想。

这篇博客发出后不久，就有网友赶来点赞，表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想：

One More Thing

值得一提的是，2004年陶哲轩和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）另一个更著名的等差数列猜想而来。

其中，埃尔德什等差数列猜想如下：

格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内，相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”：

埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。

这些年除了陶哲轩以外，也有不少数学家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年，证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列，将这个问题又向前推进了一步。

感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了（手动狗头）

新论文地址：

参考链接：

— 完 —

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郜萧斩2267级数an+1 - an 收敛充要条件an收敛 -
安松委17293537968 ______ 级数Σ[a(n+1)-a(n)](从n=1到∞)收敛的定义是它的部分和序列{Σ[a(n+1)-a(n)]}(从n=1到N)收敛.而它的部分和序列的第N项为{Σ[a(n+1)-a(n)]}(从n=1到N)=[a(2)-a(1)]+[a(3)-a(2)]+[a(4)-a(3)]+…+[a(N+1)-a(N)]=a(N+1)-a(1),因此部分和序列收敛的充要条件就是 lim [a(N+1)-a(1)]存在,即 lim a(N+1)存在,即数列an收敛. 证明完毕.

郜萧斩2267正项级数收敛,则an+1一定大于an吗,在n趋于无穷的时候 -
安松委17293537968 ______ 当然不是咯,an = (1/2)^n 是一个收敛级数,递减的

郜萧斩2267求幂级数收敛区间,我就看不懂为什么答案有的题目用an/an+1来比值,有的用an+1/an来比 -
安松委17293537968 ______ 理论上是都可以. 但是比值法,一般都是an+1/an.

郜萧斩2267如果级数an收敛,那么级数1/an就发散.这句话对吗,不对请举例 -
安松委17293537968 ______ 在保证1/an有意义的前提下,这句话是对的.因为级数an收敛,所以数列an的极限是0,这样的话数列1/an的极限不能是0,所以级数1/an就发散.这里其实只用到一个定理:如果级数收敛,那么其通项的极限是0.

郜萧斩2267考研 高数 在无穷级数这一章中 用比值判别法(达朗贝尔)中 说过 逆命题不成立.但是 如果 正项级数收敛 是否可以 判断 An+1/An -
安松委17293537968 ______[答案] 问题一没怎么看懂.是不是说由“正项级数收敛”推出“An+1/An

郜萧斩2267设正项级数An发散,讨论An/(1+n^2*An)级数敛散性和An/(1+An^2)级数敛散性 -
安松委17293537968 ______ 第一题:由于An为正项级数,所以An/[1+(n^2)An]

郜萧斩2267高数问题,有关级数收敛 -
安松委17293537968 ______ 例如an=(-1)^(n-1)/n ∑a(2n-1) - a(2n)=∑1/n发散 ∑an + a(n+1) 里两个项是同号的,由于∑an收敛,所以∑2an也收敛,并且任意添加括号后也收敛 ∑2an=2a1+2a2+...+2an+... =a1+(a1+a2+...+an+...)+[a2+a3+...+a(n+1)+...] =a1+∑[an + a(n+1)] 所以∑[an + a(n+1)]也收敛

郜萧斩2267如何证明∑|x|^(n+1)/(n+1)!是收敛级数(n从0到∞) -
安松委17293537968 ______ 当x≥0时|x|=x,级数变成 x+x²/2+x³/3+...=-1+1+x+x²/2+x³/3+...=-1+∑x^n/n!(n=1→∞)=-1+e^x 当x-x+x²/2-x³/3!+...=-1+e^(-x) ∴对任意实数x,原级数都收敛

郜萧斩2267证明级数收敛 -
安松委17293537968 ______ 当n充分大时,有an<1,故an^2<=(an+an+1)/2,相加的两个级数都收敛.(由不等式ab<=(a^2+b^2)/2)知根号(an)/n<=(an+1/n^2)...

郜萧斩2267设an是单增正数列,求证:当an有上界时,级数(1 - an/an+1)收敛 -
安松委17293537968 ______ 法一 当an有界时原级数写成Σ(an+1-an/an+1)而Σ(an+1-an)=an+1-a1 因为数列an有界所以上式有界且1/an单调递减(因为an递增)还<1/a1 由Abel判别法有 原级数收敛 法2 limΣ(an+1-an/an+1)<lim(an+1-a1)/a 因为an有界 所以原级数收敛