切平面和法平面计算公式
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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包桦耐2342高数:空间曲线的切线和法平面. -
籍柯法18399858072 ______ 9. 令 F= √x+√y+√z-√a, 则 F'=1/(2√x), F'=1/(2√y), F'=1/(2√z), 在曲面上点 P( m, n, (√a-√m-√n)^2 ) 处, F'=1/(2√m), F'=1/(2√n), F'=1/[2(√a-√m-√n)], 切平面方程为 (x-m)/(2√m)+(y-n)/(2√n)+[z- (√a-√m-√n)^2]/[2(√a-...
包桦耐2342求椭圆抛物面Z=2x^2+y^2在点M(1, - 1,3)处的切平面和法线方程 -
籍柯法18399858072 ______ 解:∵Z=2x^2+y^2 ∴Zx'│m=4,Zy'=-2 ∴切平面的法向量是(4,-2,-1) 故 所求切平面方程是4(x-1)-2(y+1)-(z-3)=0,即4x-2y-z=3 所求法线方程是(x-1)/4=(y+1)/(-2)=(z-3)/(-1)
包桦耐2342求曲线x=acospcosq,y=cospsinq,z=asinp在(p,q)=(π/4,π/4)的切平面和法线方程 -
籍柯法18399858072 ______ p=q=π/4时,x=a/2,y=1/2,z=a/√2,所以切点是(a/2,1/2,a/√2).消去p,q,得曲面的方程是x^2/a^2+y^2+z^2/a^2=1,即x^2+a^2y^2+z^2=a^2.设F(x,y,z)=x^2+a^2y^2+z^2-a^2,则Fx=2x,Fy=2a^2y,Fz=2z.所以切点处的切平面的法向量n=(Fx,Fy,Fz)=(a,a^2,√2a)=a(1,a,√2).所以切平面方程是(x-a/2)+a(y-1/2)+√2(z-a/√2)=0,即x+ay+√2z-2a=0.法线方程是x-a/2=(y-1/2)/a=(z-a/√2)/√2.
包桦耐2342若椭圆球面x^2+2y^2+z^2=4上某点的切平面与平面x - 2y+z=3平行,求切平面方程 -
籍柯法18399858072 ______ 平面:x-2y+z=3 的法向量 ( 1, -2, 1) 所以切平面的法向量 (k, -2k, k) ∂F/∂x = 2x =k 即 x=k/2 ∂F/∂y = 4y =-2k y=-k/2 ∂F/∂z = 2z =k z=k/2 所以 (k/2)^2 + 2*(-k/2)^2 + (k/2)^2 = 4 k^2 = 4 => k=2 or -2 平面方程:2 (x-1) - 4 (y+1) + 2 (z-1) =0 -2 (x+1) + 4 (y-1) - 2 (z +1)=0
包桦耐2342求曲面ez - z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. -
籍柯法18399858072 ______[答案] 由题意,设F(x,y,z)=ez-z+xy-3,则 曲面在点(2,1,0)处的法向量为 n=(Fx,Fy,Fz)|(2,1,0)=(y,x,ez-1)|(2,1,0)=(1,2,0) ∴所求切平面方程 (x-2)+2(y-1)=0 即 x+2y-4=0 所求法线方程为 x−2 1= y−1 2,z=0 即 x=2+ty=1+2tz=0.
包桦耐2342求曲面x(立方)+y(立方)—z(立方)+3xyz—4=0在点(1,2, - 1)处的 切平面和法线方程 -
籍柯法18399858072 ______ F(x,y,z)=x³+y³-z³+3xyz-4=0,曲面的法向量n为 (∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)=(3x²+3yz,3y²+3xz,-3z²+3xy) 在点(1,2,-1)的法向量n1为(-9,9,3).所以切平面方程为:-9(x-1)+9(y-2)+3(z+1)=0,即切平面为-9x+9y+3z--6=0,也即-3x+3y+z-2=0.法线方程为:(x-1)/(-9)=(y-2)/9=(z+1)/3,即(x-1)/(-3)=(y-2)/3=(z+1)/1.
包桦耐2342求曲面z=arctany/x在点(1.1.π/4)的切平面与法线方程 -
籍柯法18399858072 ______ z=arctan(y/x), dz=d(y/x)/[1+(y/x)^2]=(xdy-ydx)/(x^2+y^2), 在点(1,1,π/4)处,切平面的法向量为(1/2,-1/2,-1), ∴切平面方程是(1/2)(x-1)-(1/2)(y-1)-(z-π/4)=0, 即x-y-2z+π/2=0. 法线方程是x-1=(y-1)/(-1)=(z-π/4)/(-2).
包桦耐2342求曲面z=tarctan(y/x)在点(1,1,∏/4)处的切平面方程和法线方程 -
籍柯法18399858072 ______ 任意一曲面F(x,y,z)=0在点(x,y,z)的法向量为(Fx,Fy,Fz),那有其法向量了,那切平面就好求了,Fx意思为F对x的偏导数 令F(x,y,z)=arctan(y/x)-z Fx=(-y/x^2)/[1+(y/x)^2]=-y/(x^2+y^2) Fy=x/[x^2+y^2] Fz=-1 切平面的法向量为:(-1/2,1/2,-1) 于是切平面为:(-1/2)(x-1)+(1/2)(y-1)+(-1)(z-π/4)=0,即:x-y+2z-∏/2=0 法线方程:(x-1)/(-1/2)=(y-1)/(1/2)=(z-π/4)/(-1),即:(x-1)/1=(y-1)/-1=(z-∏/4)/2
包桦耐2342曲线x^2+y^2+z^2 - 3x=0,2x - 3y+5z - 4=0在点1,1,1处的切线及法平面 -
籍柯法18399858072 ______ 第一种方法是对的,其中法向量就是和向量n1,n2都垂直的向量,实际上叉乘运算不就是用来求这个的吗.另外要明确的是,对于曲线,我们可以讨论它的切线和法平面,相应的,对于曲面,我们可以讨论它的切平面和法线,因为它们都是在给定一点后唯一确定的.反之,我们是不研究曲面的切线的,因为曲面在一点的切线有无数条,所以你的第二种做法,求“曲面的切向量的方程”,一上来就是错的.
包桦耐2342在上半球面Z=根号下(9 - x*x - y*y)在点(1.2.2)处的切平面方程和法线方程 -
籍柯法18399858072 ______ 球面上的(x,y,z)点的法向量就是{x,y,z} 所以在(1,2,2)点的法向量也是{1,2,2} 切平面方程为:1*(x-1)+2*(y-2)+2*(z-2)=0,即x+2y+2z-9=0 法线方程为:(x-1)/1=(y-2)/2=(z-2)/2