小学简单数列求和公式

作者：楚门是Truman

一、分期免息券价格之谜

突然对分期免息券值多少钱产生疑问，主要是618购买Apple Watch Ultra，转战狗东、某宝、拼夕夕，旗舰店、喵电、自营店各种对比。买的不如卖的精，现在购物街不仅促销力度锐减，而且各种价格暗藏玄机。

再以双十一iPhone 15 Pro Max 256GB举例，光看标价，9999、9399、8999阶梯排布，但是叠加购物券、优惠券、专项红包等等之后，实付价格又是斗转星移，可能标价9399优惠下来反而最便宜。

不仅是优惠券陷阱，还有分期免息陷阱，3期、6期、12期免息诱惑，实付价格之下当然免息最优惠。难就难在，可能实付价格贵100，但是狗东免息12期，你会不会买狗东？

12期免息可能会毫不犹豫买狗东，但是只有3期免息呢？或者实付价格贵200，只有免息6期，你会不会买狗东呢？我都会纠结死了。

而且免息优惠券还要抢！抢不到又生气！如果你算出来免息券根本不值几个钱，那么就没有必蹲点抢券了嘛。

这里就涉及到核心问题，免息券到底值多少钱？

二、分期免息券价值计算

重要声明：

在经济不明朗、失业率飙升（甚至不公布）、未来收入不确定性加强的2023年，以及大概率也不会好转的2024年，强烈不推荐因为现金不足，分期购买，提前满足消费欲望的行为。

本次讨论是基于现金充足，为了优惠省钱，才使用分期免息券的消费行为。

再次强调，切勿提前消费，慎用分期金融工具，身边太多人陷入金融陷阱。

那么，开始计算分期免息券价值。

2.1、分期免息券如何产生价值

先确定一个概念，分期免息券如何产生价值。

还是以iPhone 15 Pro Max 256GB举例，官方售价9999元，24期免息，一个月只要付416.63元；12个月免息就是一个月付833.25元，存下的钱可以买理财增值，最不济也可以放余额宝嘛。

这里我们简化一下，存款产生的利息就当成分期免息期价值。

存款利息就要涉及存款利率和期限，那么就要确定下面几个变量。

2.2、期限

先说期限，网购平台一般是3期、6期、12、24期免息。购物节的时候商品有打折，而且3期一般平台赠送，不用抢券。6期和12期免息券大概率要蹲点抢了，24期基本很少见了。像苹果官网这种原价iPhone会24期免息，但原价购买真是大怨种。

就以最常见的12个月免息举例，最理想的存款理财方式应该是9999元存12个月，9165.75元存11个月，8332.5元存10个月，7499.25元存9个月，以此类推，对应购买该期限利率最高的理财产品。

这是最理想的方法，但计算起来太复杂，每个区间利率不一致，我嫌太麻烦都设为只买一个月短期理财。

2.3、利率

解决完期限，我们现在来设置利率。

一个月理财产品，利率不会太高，而且为了保证本金安全性，我就只考虑大银行的理财产品吧，不靠谱的P2P高息理财就不考虑的。

这里分享一下作为银行狗客户经理的工作体会：

1、你惦记我的利息，我在意你的本金。

2、理财收益率超过6%的就要打问号，超过8%的就很危险，超过10%就要准备损失全部本金。

3、信用卡分期或者各种呗，日利率0.05%或分期0.68%，其实年化利率非常高，再加上等额本息最后几期实际利率更是高的吓人，综合实际利率也是非常高，所以信用卡是银行非常赚钱的产品。具体计算，以后有机会再分享（这个坑挖了好几年了，今天的计算思路可以借鉴）。

这次就选我最常用的浦X银行、招X银行的理财为例，一个月利率差不多在2.76%~3.14%之间。

考虑到未来利率下行，存款起息时间浪费，这里就取值2.5%作为存款利率。

2.4、通货膨胀与现值与终值

作为金融学考研屡考不中的学渣，格里高利·曼昆的不肖徒孙，学在华科却玩在武汉的loser，金融就学到一些皮毛，比如货币具有时间价值呀，社会通货膨胀呀，现值PV呀，终值FV呀，净现值NPV呀。

具体怎么算，不好意思，学渣忘记了。而且最长24期也就2年，咱们中国特色社会主义国家，物价还是比较稳定，又不是阿根廷那种疯狂贬值物价飞涨的混乱社会，咱们就不考虑通货膨胀影响哈。

万事俱备，参数设好，就唤醒高中数学知识，开始计算吧！

三、计算过程

12期免息存款利息

研究经济常规做法，来个模型，在让其他条件理想化（吐槽一句经济学最不合理的假设就是，理性人假设。真正有谁能做到完全理性呢？）

假设每月1号买理财，当天起息，1个月后本金利息到账后，马上还一次分期本金。然后剩下的钱继续买理财起息，1个月后本息到账还分期。以此类推，那么理财本金如下：

那么第1期利息：99992.5%12，第2期：9165.752.5%12。。。第12期：833.252.5%12，用excel一分钟就算出来了。

但毕竟咱们是高中生，不能用手机、不能用电脑、不能用计算器，就只能用笔和纸来计算。

用求和公式，将各期利息相加。

一个一个算太笨了，优化计算，分部分来，简单的常数求和等差数列累加求和。

常数求和咱们小学就会，就是99992.5%1312270.80625元。敲黑板，这里比较容易错的就是有13项相加，马虎的同学只算了12项。

等差数列求和，有公式取巧。这里讲一个数学王子高斯的小故事：高斯在7岁时进了小学，有一天，算术老师要求全班同学算出以下的算式：1+2+3+4+……+98+99+100=？在老师把问题讲完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050。

老师和同学大为诧异，小高斯轻描淡写回答说：“我不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的。老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100是101，2加99是101，3加98也是101把一前一后的数相加，一共有50个101，101乘以50，得5050。”

这就是等差数列求和公式，首项加末项，乘以项数，除以2。这里因为期数从0期算起，算到12期，所以项数有12项。其实从1期算起，项数12项，结果一样，无伤大雅。

最终计算只涉及除法2，其他均为乘法，难度很小，就是比较耗时耗力。

最后算出，分期存款利息总收益为，270.80625-135.403125=135.403125元。和前面excel算的一模一样。

3期免息、6期免息、24期免息就算公式都一样，这里就不重复展开了。

四、复利进阶计算

利息还能生利息，生生不息。第1期获得的利息还能继续买理财，爱因斯坦还说过，宇宙中最强大的武器就是复利。（“The most powerful force in the universe is compoud interest. ”——Albert Einstein）

利息的复利计算稍微复杂一丢丢，具体如下：

由于第1期的利息在第2期才开始产生利息，所以第一项i从1开始。

这个涉及等差和等比公式求和，计算太复杂，而且我已经算过结果只差几块钱。

要是为了省这几块钱，算这么复杂的公式，我宁愿不买了。

直接给出结果，利息复利=137.4880263元，相比之前的135.403125元，多了2.0849013元。

2块多钱还不够坐地铁呢，还是算了算了。

五、excel一键生成结果

怎么算大家看个乐呵，真正生活中，还是用excel一键生成结果最方便。

我最近在考虑买房，突然发现自己做的买房利息计算器，其实和分期存款利息计算器有异曲同工之妙。

买房的等额本金还款方式，每期本金还款金额一致，本金最后一次还清。

本质上，贷款利息和存款利息是一个道理，偿还利息倒过来看就是存款利息。

输入贷款金额、贷款期限、年利率之后，一键生成结果，和上面计算完全一致！

3期、6期、24期随意输入，年利率也可以随意调，一秒出结果。

因为我是房贷计算期，所以表格里面还有等额本息还款方式，生活中分期基本用不上，就自行略过。

具体excel文件，我分享在网盘，大家有需要自取。

链接：https://pan.baidu.com/s/1aWHLa7gVF2EHTO99F-C_2A?pwd=qgtf

提取码：qgtf

现在应该大家都知道怎么计算，3期、6期、12期免息券到底“值”多少钱了吧，而且也附赠的一键计算excel，期待大家的评论、点赞和金币、碎银子打赏哦~

招待不周。

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