换元法的步骤公式
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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房凯满3112换元法解题(初中数学) -
牧宇鲍19661398591 ______ 换元法其实很简单 例如(x2-1)2-5(X2-1)+4=0 解:设x2-1=t t2-5t+4=0 (t-1)(t-4)=0 所以t1=1,t2=4 所以x2-1=1或x2-1=4 接着再算下去就可以求出x等于多少
房凯满3112数学换元法是怎么弄的?? -
牧宇鲍19661398591 ______ y=sin(2x+1)解答: 设t=2x+1,u=sint --->y'=u't'=(sint)'t'=cost*2=2cos(2x+1) 就如这样的,换元的目的就是为了使运算式子简单,运算起来更方便
房凯满3112换元法解一元二次方程 -
牧宇鲍19661398591 ______ (6x+6/x²+1)+(x的平方+1/x+1)=7 x+1/x^2+1=t6t+1/t=76t^2-7t+1=0(6t-1)(t-1)=0 t=1/6 t=1 当t=1/6时 x+1/x^2+1=1/6 x^2+1=6x+6 x^2-6x-5=0 x=6+√(36+4*5*1)/2=3+√14 或x=6-√(36+4*5*1)/2=3-√14 当t=1时 x+1/x^2+1=1 x^2+1=x+1 x(x-1)=0 x=0 或x=1
房凯满3112∫cos^5 x sinx dx ,设t=cosx,则dt= - sinxdx,求用换元法把x换元成t后得出的积分公式的(换元步骤) -
牧宇鲍19661398591 ______[答案] 设t=cosx,则dt=-sinxdx ∫cos^5 x sinx dx =-∫t^5 dt=-t^6/6 所以∫cos^5 x sinx dx =-(cosx)^6/6+C (C为常数)
房凯满3112二元一次方程组 ①x+y/2+x - y/3=7 ②x+y/3 - x - y/4= - 1换元法解 要步骤 -
牧宇鲍19661398591 ______ x+y/2+x-y/3=7 ① x+y/3-x-y/4=-1 ② 设x+y=m x-y=n 则方程组变为 m/2+n/3=7 3m+2n=42 (1) m/3-n/4=-1 4m-3n=-12 (2)(1)*3+(2)*2 17m=102 m=6 代入(1) n=12 于是x+y=6 (3) x-y=12 (4)(3)+(4) 2x=18 x=9 代入(3) y=-3 希望能帮到你,祝学习进步O(∩_∩)O
房凯满3112换元法解方程⑴ 2(x^2+1)/(x+1)+6(x+1)/(x^2+1)=7 ⑵(x^4+2x^2+1)/(x^2)+(x^2+1)/x=2需步骤 -
牧宇鲍19661398591 ______ 换元法解方程⑴ 2(x^2+1)/(x+1)+6(x+1)/(x^2+1)=7 令(x^2+1)/(x+1)=t2t+6/t=72t^2-7t+6=0(2t-3)(t-2)=0 t=3/2或t=2(1)t=3/2 (x^2+1)/(x+1)=3/22(x^2+1)=3(x+1)2x^2+2=3x+32x^2-3x-1=0 x=(3±√3^2+4*2*1)/2*2=(3±√17)/4(2)t=2 (x^2+1)/(x+1)=2 (x^2...
房凯满3112换元法解方程 -
牧宇鲍19661398591 ______ 令a=x^2-x 则a+1=6/a a^2+a=6 a^2+a-6=0 (a+3)(a-2)=0 a=-3,a=2 x^2-x=a=-3 x^2-x+3=0 判别式b^2-4ac<0,无解 x^2-x=a=2 x^2-x-2=0 (x-2)(x+1)=0 所以x=2,x=-1
房凯满3112解函数 两种方法 换元法会 例如f(x+1)=x^2 拼凑法 f(x)=(x+1)^2 - 2(x+1)+1 怎么来的 -
牧宇鲍19661398591 ______[答案] 首先括号里是x+1,而后面是x^2,所以第一项就是(x+1)^2,这样就多出来了2x+1,所以x^2=(x+1)^2-2x-1,然后-2x-1=-2(x+1)+1,所以f(x+1)=(x+1)^2-2(x+1)+1
房凯满3112用换元法解方程.
牧宇鲍19661398591 ______ y=(X-2/2X+1) 那么方程变为 y-3/y+2=0 y²+2y-3=0 解得y=-3或1 当y=-3时,(X-2)/(2X+1)=-3,解得x=-1/7 当y=1时,(X-2)/(2X+1)=1,解得x=-3
房凯满3112分式方程.换元法. -
牧宇鲍19661398591 ______ 不是 是y+1/(2y)=3/2 所以2y²-3y+1=0 y=1/2,y=1 (1-x)/(x²+2)=1/2 x=0,x=-2 (1-x)/(x²+2)=1 x=-1 所以 x=0,x=-2,x=-1