lnx比上x的极限x趋近于0

函数y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的性质

主要内容：

本文主要介绍函数y=1ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。

函数定义域：

根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：

(9+1x)/1x＞0，即不等式解集等同于x(9+x)>0，则x>0或者x＜-9, 所以函数的定义域为：(-∞，-9)∪(0，+∞)。

函数的单调性：

本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：

∵y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)

=1[ln(9+x)-lnx]-9/(9+x),

∴dy/dx=[1/(9+x)-1/x]+9/(9+x)^2

=[x-(9+x)]/[x(9+x)]+9/(9+x)^2

=9{1/(9+x)^2-1/[x(9+x)]}

=-81/[x(9+x)^2]。

可知函数的单调性与x的符号有关，即：

(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。

进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。

函数的凸凹性：

∵dy/dx=-81/[x(9+x)^2]

∴d^2y/dx^2=81*[(9+x)^2+2x(9+x)]/\n[x^2(9+x)^4]

=81*[(9+x)+2x]/\n[x^2(9+x)^3]

=81*(9+3x)/ [x^2(9+x)^3]

令d^2y/dx^2=0,则有9+3x=0,即x=-3,

此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：

(1)当x∈(0，+∞)时，有(9+3x)>0且(9+x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，有(9+3x)<0且(9+x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

综合可知函数在定义区间上均为凹函数。

函数的极限：

根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：

Lim(x→+∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-9-) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞;

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Lim(x→0+) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞。

伊审迹2828已知函数f(x)=x^2lnx,当x趋近于0时f(x)的极限是多少? -
能河诞13689364296 ______[答案] 当x趋近于0时limx^2lnx =当x趋近于0时lim(lnx)/(x^-2) =当x趋近于0时lim(1/x)/(-2/x^3) =当x趋近于0时lim-0.5x^2=0

伊审迹2828求(lnx) - (x/e)的极限,x趋于正无穷 -
能河诞13689364296 ______[答案] 令y=(lnx)/x 当x→+∞时,使用罗毕达法则,得: lim(lnx)/x=(1/x)=0 这说明x是lnx的高阶无穷大.因此: x→+∞时,(lnx)-(x/e)的极限是-x/e,即-∞.

伊审迹2828lnx/(1 - x)趋向于1的极限lnx/(1 - x)趋向于1的极限 -
能河诞13689364296 ______[答案] limx→1 lnx/(1-x) =limx→1 (1/x)/(-1) =(1/1)/(-1) =-1.

伊审迹2828求极限问题……当x趋近于e时,lnx - 1/x - e的极限怎么求? -
能河诞13689364296 ______[答案] 应用洛必达法则x趋近于e时lnx -1/x-e=x趋近于e时1/x /1=1/e

伊审迹2828考研数学求极限的方法有哪些? -
能河诞13689364296 ______ 2016考研数学16种求极限的方法 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 1 极限分为 一般极限 , 还有个数列极限, (区别在于数列极限时发散的, 是一般极限的一种) 2解决极限的方法...

伊审迹2828关于函数的极限:分子是lnx,分母是x^a(a>0),用变量替换的方法求这个数的极限,x趋向于无穷大 -
能河诞13689364296 ______ 令t=1/x就行了 变为t^aln(1/t)= ln((1/t)^(t^a))

伊审迹2828当x趋于0+的时候,(lnx)/x的极限是负无穷,怎么证? -
能河诞13689364296 ______[答案] (lnx)/x =(1/x)(lnx) x趋于0+:1/x趋于正无穷,lnx趋于负无穷 所以: (lnx)/x的极限是负无穷

伊审迹2828sinx·lnx当x趋近于0时极限是多少 -
能河诞13689364296 ______[答案] 当x→0时sinx~x 所以这个极限等价于xlnx的极限 利用洛必达法则, lim xlnx = lim lnx /(1/x) = lim (1/x) / (-1/x^2) = lim (-x) = 0

伊审迹2828如何证明当x趋近去a时,lnx的极限为lna -
能河诞13689364296 ______[答案] 求lnx-lna的极限(x----a).这个应该好做吧.limit(lnx-lna) = limit(ln(x/a)) =limit(ln1) = 0

伊审迹2828高数求极限Lntan7xLim x - 0+ - __________lntan2x一发上来成这个形式了~就是当X趋近于0+时.lntan7x 比上 lntan2x 的极限 -
能河诞13689364296 ______[答案] 先用一次洛必达法则,然后SEC^7X和SEC^2X,当X趋向0时,都为1,剩下上分母TAN7X和下分母TAN2X当X趋向0的时候,即为7X和2X,与求导出来的上分子7和下分子2正好约成(1/X)/(1/X),最终式子=1