交错级数一定是条件收敛
萧箫 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI陶哲轩又发新论文了！
这也是时隔一年，他再次独立发表新论文。（arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月）
这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。
它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）提出的一个交错素数级数猜想，在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下，是成立的。
（当然，哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想，因此这项研究只是部分证明，并没有完全解决）
这项研究，还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。
一起来看看。
证明了什么样的猜想？
核心来说，这篇新论文要证明的，是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。
这个猜想与一个长这样的交错级数有关，其中pn是第n个素数：
交错级数，指的是项的符号是正负交替、而数值绝对值单调递减的无限级数。它的一般形式，大伙儿在学高数时应该都见过：
但交错级数并不一定收敛，因此需要具体级数具体判断，这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型，即an是素数pn的倒数，这个级数是收敛的。
不过，还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。
哈代-李特尔伍德素数k元组猜想，由英国科学家哈代和李特尔伍德提出，它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。
猜想认为，存在两个绝对常数ε>0和C>0，对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组：
使得这个式子成立：
不过，这个猜想至今尚未解决。
这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上，证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步：
首先，基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。
由于证明这个猜想，实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。
转化为这个问题之后，实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。
因此，接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上，估计了短区间内k个素数的概率。
然后，陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型，来建模素数分布。
最后基于这个模型建立的分布证明猜想。
这篇博客发出后不久，就有网友赶来点赞，表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想：
点赞！
我3周前刚在Thomas Bloom的网页上发现了这个猜想，不过只有这篇论文第一句话的内容。
我从计算（computational）的角度尝试搞定它。我把它看作是观察每个结果的偶数和奇数索引之间的差异，然后尝试进行曲线拟合，以确定差异可能为零的位置。
虽然不知道我的数据是否对解决这个问题有帮助，不过至少这提高了我的编程技能。
我还需要一些时间来消化你的论文，感谢！
One More Thing
值得一提的是，2004年陶哲轩和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）另一个更著名的等差数列猜想而来。
其中，埃尔德什等差数列猜想如下：
格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内，相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”：
埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。
这些年除了陶哲轩以外，也有不少数学家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年，证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列，将这个问题又向前推进了一步。
感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了（手动狗头）
新论文地址：
https://arxiv.org/abs/2308.07205参考链接：
[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117— 完 —
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那匡耍5094判断是否条件收敛时必须是正项级数吗? -
查乐标19593166064 ______ 只有交错级数收敛,对应的正项级数发散,才称之为条件收敛. 因此,条件收敛都是对交错级数而言的.
那匡耍5094判断交错级数的敛散性:(条件收敛还是绝对收敛)∑[n=1到∞]( - 1)^n(√(n+1) - √n) -
查乐标19593166064 ______[答案] (√(n+1)-√n)=1 /(√(n+1)+√n)单减,→0,收敛 2√n) /(√(n+1)+√n) →1 )∑[n=1到∞] (1/2√n)发散, 所以条件收敛
那匡耍5094求敛散性,绝对收敛还是条件收敛,拜托了 -
查乐标19593166064 ______ 对于交错级数,只有两种情形可以用到比值判别法和根值判别法:1)可以用比值判别法或根值判别法来证明其绝对收敛;2)当用比值判别法或根值判别法判别级数非绝对收敛时原级数也必是发散的.
那匡耍5094函数两边收敛是否存在 -
查乐标19593166064 ______ 结论不定.通项取绝对值后得到一个正项级数,按正项级数的判别法,收敛即得交错级数绝对收敛,发散则原交错级数条件收敛.
那匡耍5094 判断级数的收敛性指出是条件收敛还是绝对收敛性,并且要具体过程 -
查乐标19593166064 ______ 如图所示,判断级数是绝对收敛还是条件收敛, 第一步是判断绝对值下的级数是否收敛,若收敛则是绝对收敛,且原级数也收敛;若发散,则需要判断原级数是否收敛,若原级数收敛,则是条件收敛.这里题目是交错级数,交错级数判断敛散性,根据莱布尼兹判别法判别,但这里绝对值下的级数收敛,是绝对收敛,所以就不用判断交错级数的敛散.
那匡耍5094高等数学一道证明级数条件收敛的题目 -
查乐标19593166064 ______ 是这样的,首先这是一个交错级数,很显然肯定是收敛的,对吧,其次,考虑绝对值,就是1/n^(1+1/n),我们用1/n 来比较,[1/n^(1+1/n) ]/(1/n)是趋于1的当n充分大的时候,而且1/n这个级数是发散的,是的吧,所以得出原级数条件收敛,其中,[1/n^(1+1/n) ]/(1/n)=1/n^(1/n), 分母是n次根号下n,这个在n趋于无穷大时是1,如果明白的话请采纳!
那匡耍5094高数题 证明一题(交错级数)是条件收敛和符号就不打了n=2到无穷 【( - 1)^n 】*【1/lnlnn】 的敛散性请问下 lnlnn -
查乐标19593166064 ______[答案] 一:1:逐项递减 2:n趋向无穷时,此项为0 根据微积分书本什么定理,所以:此交错级数收敛 二:每项都取绝对值时,即1/lnlnn的敛散性 由于lnlnn1/n,因为级数(求和符号)1/n发散,所以,级数(求和符号)1/lnlnn发散 综上所述:条件收敛! lnx...
那匡耍5094对于交错级数,如果其条件收敛,是不是代表如果将其绝对值看做一个级数,其收敛半径为1? -
查乐标19593166064 ______ 你把不同的概念混起来了!对于一个级数,只有是否收敛(绝对收敛或条件收敛),而没有收敛半径.幂级数才可有收敛半径的概念.对于幂级数,当|x|>R时级数发散,当|x|
那匡耍5094高数题 证明一题(交错级数)是条件收敛还是绝对收敛 -
查乐标19593166064 ______ 原级数是交错级数,由莱布尼茨判别法,原级数收敛.|【(-1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】|=ln(1+1/n'2)而n趋近无穷时ln(1+1/n'2)/(1/n...
那匡耍5094莱布尼茨定理是交错级数收敛的充要条件吗 -
查乐标19593166064 ______ 只是充分条件,不是必要条件.也就是说满足莱布尼兹定理的交错级数必然收敛.但是不满足莱布尼兹定理的交错级数,不一定就不收敛.