交错级数什么时候收敛
萧箫 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI陶哲轩又发新论文了!
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t016176d8e716fcd0ba.jpg)
这也是时隔一年,他再次独立发表新论文。(arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月)
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t0167faa541758875a1.jpg)
这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。
它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔(Erdős Pál)提出的一个交错素数级数猜想,在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下,是成立的。
(当然,哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想,因此这项研究只是部分证明,并没有完全解决)
这项研究,还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。
一起来看看。
证明了什么样的猜想?
核心来说,这篇新论文要证明的,是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。
这个猜想与一个长这样的交错级数有关,其中pn是第n个素数:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t011ed56e8e27fcf1c9.jpg)
交错级数,指的是项的符号是正负交替、而数值绝对值单调递减的无限级数。它的一般形式,大伙儿在学高数时应该都见过:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t010ea75c56307f5d25.jpg)
但交错级数并不一定收敛,因此需要具体级数具体判断,这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型,即an是素数pn的倒数,这个级数是收敛的。
不过,还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。
哈代-李特尔伍德素数k元组猜想,由英国科学家哈代和李特尔伍德提出,它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。
猜想认为,存在两个绝对常数ε>0和C>0,对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t0131eea6f6547febb9.jpg)
使得这个式子成立:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01df34d76edd2fcf45.jpg)
不过,这个猜想至今尚未解决。
这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上,证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步:
首先,基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。
由于证明这个猜想,实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布,因此使用差分定理的目的,能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。
转化为这个问题之后,实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。
因此,接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上,估计了短区间内k个素数的概率。
然后,陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型,来建模素数分布。
最后基于这个模型建立的分布证明猜想。
这篇博客发出后不久,就有网友赶来点赞,表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想:
点赞!
我3周前刚在Thomas Bloom的网页上发现了这个猜想,不过只有这篇论文第一句话的内容。
我从计算(computational)的角度尝试搞定它。我把它看作是观察每个结果的偶数和奇数索引之间的差异,然后尝试进行曲线拟合,以确定差异可能为零的位置。
虽然不知道我的数据是否对解决这个问题有帮助,不过至少这提高了我的编程技能。
我还需要一些时间来消化你的论文,感谢!
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01d568603807e33c1b.jpg)
One More Thing
值得一提的是,2004年陶哲轩和本·格林(Ben Joseph Green)提出的著名格林-陶定理,也是基于埃尔德什·帕尔(Erdős Pál)另一个更著名的等差数列猜想而来。
其中,埃尔德什等差数列猜想如下:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01542ea67bc8869fa5.jpg)
格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内,相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01107b81068a3f877b.jpg)
埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。
这些年除了陶哲轩以外,也有不少数学家致力于它的研究,例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年,证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列,将这个问题又向前推进了一步。
感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了(手动狗头)
新论文地址:
https://arxiv.org/abs/2308.07205参考链接:
[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117— 完 —
量子位 QbitAI · 头条号签约
","gnid":"9c658ff34f4ccdd0e","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"532","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t016176d8e716fcd0ba.jpg","width":"1080"},{"desc":"","height":"172","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t0167faa541758875a1.jpg","width":"1080"},{"desc":"","height":"640","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t011ed56e8e27fcf1c9.jpg","width":"1080"},{"desc":"","height":"495","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t010ea75c56307f5d25.jpg","width":"1080"},{"desc":"","height":"152","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t0131eea6f6547febb9.jpg","width":"844"},{"desc":"","height":"150","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01df34d76edd2fcf45.jpg","width":"898"},{"desc":"","height":"610","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01d568603807e33c1b.jpg","width":"1054"},{"desc":"","height":"314","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01542ea67bc8869fa5.jpg","width":"914"},{"desc":"","height":"305","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01107b81068a3f877b.jpg","width":"1080"}]}],"original":0,"pat":"art_src_3,fts0,sts0","powerby":"cache","pub_time":1692165120000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/5d20cdbb465019c500100460c34c40fa","redirect":0,"rptid":"4fc0d1f71c712f4b","rss_ext":[],"s":"t","src":"量子位","tag":[],"title":"陶哲轩新论文:部分证明著名素数猜想,新方法用到了自己的旧模型
邵贾急5134高数题 证明一题(交错级数)是条件收敛还是绝对收敛 -
席羽满18369966976 ______ n'2)/(1/2)而n趋近无穷时 ln(1+1/2收敛性相同,显然后者收敛原级数是交错级数;n'n',由莱布尼茨判别法,原级数收敛. |【(-1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】|=ln(1+1/n'2)=lne=1 所以ln(1+1/n'2)与1/,所以ln(1+1/n'2)收敛
邵贾急5134求数学高手教教我怎么判断这两个交错级数的收敛性 -
席羽满18369966976 ______ 第一个级数的敛散性可以根据交错级数的莱布尼兹判别法来判断: 因为①1/n单调递减;②1/n的极限是0.因此原级数收敛. 第二个级数每一项都是第一个级数的每一项的相反数,因此具有相同的敛散性,且级数和为第一个级数的相反数.
邵贾急5134怎么判断级数的收敛性 -
席羽满18369966976 ______ 没看明白你给的级数是啥.但是一般来说,判别一个级数是否发散.首先看通项un的极限是不是0.如果极限不为0那么∑un必然发散;如果极限为0,那么∑un就有可能发散也有可能收敛.得具体分析了 但是一般来说,我们总是希望un能跟我们...
邵贾急5134这些级数是否收敛? 怎么判断 -
席羽满18369966976 ______ 1.先看级数通项是不是趋于0.如果不是,直接写“发散”,OK得分,做下一题;如果是,转到2. 2.看是什么级数,交错级数转到3;正项级数转到4. 3.交错级数用莱布尼兹审敛法,通项递减趋于零就是收敛. 4.正项级数用比值审敛法,比较审敛法等,一般能搞定.搞不定转5. 5.看看这个级数是不是哪个积分定义式,或许能写成积分的形式来判断,如果积分出来是有限值就收敛,反之发散.如果还搞不定转6. 6.在卷子上写“通项是趋于0的,因此可以进一步讨论”.写上这句话,多少有点分.回去烧香保佑及格,OVER!
邵贾急5134判断交错级数的敛散性:(条件收敛还是绝对收敛)∑[n=1到∞]( - 1)^n(√(n+1) - √n) -
席羽满18369966976 ______[答案] (√(n+1)-√n)=1 /(√(n+1)+√n)单减,→0,收敛 2√n) /(√(n+1)+√n) →1 )∑[n=1到∞] (1/2√n)发散, 所以条件收敛
邵贾急5134交错级数是不是都是收敛的?
席羽满18369966976 ______ 当然不是,an=(-1)^n是交错级数,但发散 有个莱布尼兹交错级数判定定理:一般项递减趋于0的交错级数收敛
邵贾急5134( - 1)^n1/n请问是发散,还是收敛?
席羽满18369966976 ______ (-1)^n/n收敛.∑(-1)^n·1/n本身是收敛的,这可由莱布尼茨判别法得到:an=1/n是一个单调递减的数列;an的极限为0;然而,其通项的绝对值组成的级数却是发散的.定义方式与数列收敛类似.柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义. 对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0
邵贾急5134交错级数( - 1)^n*(n+1)/(3n - 2)是否收敛,如何证明 -
席羽满18369966976 ______[答案] 不收敛. 通项(-1)^n * (n+1)/(3n-2)的绝对值(n+1)/(3n-2) ->1/3,所以通项不趋向于0,级数不收敛. 注:对于交错级数(-1)^n * an,数列an递减,那么其收敛的的充要条件是an->0,这个条件一定要注意验证
邵贾急5134高数题 证明一题(交错级数)是条件收敛还是绝对收敛判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【( - 1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】的敛散性,若收敛,请指出是条... -
席羽满18369966976 ______[答案] 原级数是交错级数,由莱布尼茨判别法,原级数收敛. |【(-1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】|=ln(1+1/n'2)而n趋近无穷时 ln(1+1/n'2)/(1/n'2)=lne=1 所以ln(1+1/n'2)与1/n'2收敛性相同,显然后者收敛,所以ln(1+1/n'2)收敛,所以是绝对收敛
邵贾急5134幂级数Σx^n/n*3^n 当x= - 3的时候是不是收敛 -
席羽满18369966976 ______ 一个是收敛区间,一个是收敛域,概念不同,收敛区间是开区间,(-3,3)是对的