交错级数如何判断其条件收敛
萧箫 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI陶哲轩又发新论文了!
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t016176d8e716fcd0ba.jpg)
这也是时隔一年,他再次独立发表新论文。(arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月)
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t0167faa541758875a1.jpg)
这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。
它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔(Erdős Pál)提出的一个交错素数级数猜想,在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下,是成立的。
(当然,哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想,因此这项研究只是部分证明,并没有完全解决)
这项研究,还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。
一起来看看。
证明了什么样的猜想?
核心来说,这篇新论文要证明的,是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。
这个猜想与一个长这样的交错级数有关,其中pn是第n个素数:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t011ed56e8e27fcf1c9.jpg)
交错级数,指的是项的符号是正负交替、而数值绝对值单调递减的无限级数。它的一般形式,大伙儿在学高数时应该都见过:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t010ea75c56307f5d25.jpg)
但交错级数并不一定收敛,因此需要具体级数具体判断,这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型,即an是素数pn的倒数,这个级数是收敛的。
不过,还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。
哈代-李特尔伍德素数k元组猜想,由英国科学家哈代和李特尔伍德提出,它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。
猜想认为,存在两个绝对常数ε>0和C>0,对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t0131eea6f6547febb9.jpg)
使得这个式子成立:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01df34d76edd2fcf45.jpg)
不过,这个猜想至今尚未解决。
这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上,证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步:
首先,基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。
由于证明这个猜想,实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布,因此使用差分定理的目的,能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。
转化为这个问题之后,实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。
因此,接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上,估计了短区间内k个素数的概率。
然后,陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型,来建模素数分布。
最后基于这个模型建立的分布证明猜想。
这篇博客发出后不久,就有网友赶来点赞,表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想:
点赞!
我3周前刚在Thomas Bloom的网页上发现了这个猜想,不过只有这篇论文第一句话的内容。
我从计算(computational)的角度尝试搞定它。我把它看作是观察每个结果的偶数和奇数索引之间的差异,然后尝试进行曲线拟合,以确定差异可能为零的位置。
虽然不知道我的数据是否对解决这个问题有帮助,不过至少这提高了我的编程技能。
我还需要一些时间来消化你的论文,感谢!
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01d568603807e33c1b.jpg)
One More Thing
值得一提的是,2004年陶哲轩和本·格林(Ben Joseph Green)提出的著名格林-陶定理,也是基于埃尔德什·帕尔(Erdős Pál)另一个更著名的等差数列猜想而来。
其中,埃尔德什等差数列猜想如下:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01542ea67bc8869fa5.jpg)
格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内,相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”:
![](https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01107b81068a3f877b.jpg)
埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。
这些年除了陶哲轩以外,也有不少数学家致力于它的研究,例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年,证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列,将这个问题又向前推进了一步。
感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了(手动狗头)
新论文地址:
https://arxiv.org/abs/2308.07205参考链接:
[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117— 完 —
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郟话彭3369求数学高手教教我怎么判断这两个交错级数的收敛性 -
隗浩雁19673346296 ______ 第一个级数的敛散性可以根据交错级数的莱布尼兹判别法来判断: 因为①1/n单调递减;②1/n的极限是0.因此原级数收敛. 第二个级数每一项都是第一个级数的每一项的相反数,因此具有相同的敛散性,且级数和为第一个级数的相反数.
郟话彭3369一个一般的变号级数,如果不是绝对收敛,那怎么判断它是否条件收敛? -
隗浩雁19673346296 ______ 这种级数称为交错级数,如果不是绝对收敛,一般可以用莱布尼茨判别法来判断,或者看一般项的极限是否为零,具体得看题目来砍断
郟话彭3369判别级数收敛性的方法有哪些? -
隗浩雁19673346296 ______ 上面几楼说的都对,但是都不全.我来说个全一些的.(纯手工,绝非copy党) 首先要说明的是:没有最好用的判别法!所有判别法都是因题而异的,要看怎么出,然后才选择最恰当的判别法.下面是一些常用的判别法: 一、对于所有级数都...
郟话彭3369交错级数的系数( - 1)^n 与( - 1)^n - 1 ,判断是否条件收敛时都是根据1:逐项递减 2:n趋向无穷时,此项为0 .( - 1)^n - 1 * sin 1/n 这个题应该还可以等价于( - ... -
隗浩雁19673346296 ______[答案] 归根到底,你对交错级数的本质没弄清.交错级数的基本定义是指正负相间的级数,即:u(1)-u(2)+u(3)-u(4)+.+(-1)^(n-1)*u(n)+.或者:-u(1)+u(2)-u(3)+...+(-1)^n*u(n)+.其中:u(n)>0,n=1、2、.正整数.交错级数收敛的...
郟话彭3369交错级数审敛法 -
隗浩雁19673346296 ______ 有个法则:形如:一般项为(-1)^n *Un;则只要满足条件:1.U(n)>=U(n+1)2.当n趋近于无穷大时,Un趋近于0 满足这两个条件就收敛 (PS:我算了一下是“发散”的)
郟话彭3369专升本题:判断交错级数的敛散性:(条件收敛还是绝对收敛)∑[n=1到∞]( - 1)^n(√(n+1) - √n) -
隗浩雁19673346296 ______ 不是绝对收敛,因为绝对值相加是√(n+1)-1,n取无穷是发散的 由莱布尼茨判别法,应该是条件收敛,因为√(n+1)-√n=1/(√(n+1)+√n)
郟话彭3369对于发散的交错级数如何判断,如何用莱布尼茨判别法?还有交错级数用莱布尼茨判别法做怎么判断绝对还是条件收敛是说发散的交错级数怎么判断,莱布尼... -
隗浩雁19673346296 ______[答案] 答:1.满足bn→02.满足同号的项an>a(n+1),bn>b(n+1).设an为正项,bn为负项.这时候满足条件收敛.绝对收敛是交错级数加上绝对值后仍然收敛.可再用各种判别法判定.比如:交错级数∑ (-1)^n*1/(n^p),当p>1时绝对收敛在1>=...
郟话彭3369判断级数是否为绝对收敛或条件收敛,Σ(1到无穷)(1/n)sin(nπ/2) -
隗浩雁19673346296 ______ sin(nπ/2)/n=1-1/3+1/5-1/7+....... 由莱布尼兹交错级数判别定理:级数1-1/3+1/5-1/7+.......收敛 但级数1/(2n-1)发散 故原级数条件收敛
郟话彭3369高数题 证明一题(交错级数)是条件收敛还是绝对收敛判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【( - 1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】的敛散性,若收敛,请指出是条... -
隗浩雁19673346296 ______[答案] 原级数是交错级数,由莱布尼茨判别法,原级数收敛. |【(-1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】|=ln(1+1/n'2)而n趋近无穷时 ln(1+1/n'2)/(1/n'2)=lne=1 所以ln(1+1/n'2)与1/n'2收敛性相同,显然后者收敛,所以ln(1+1/n'2)收敛,所以是绝对收敛
郟话彭3369交错级数中绝对收敛与条件收敛的判断方法
隗浩雁19673346296 ______ 通常方法不外乎莱布尼茨、阿贝尔等判别法 详细见《数学分析》华东师范大学数学系