关于ln(1+x)的不等式

函数y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的性质

主要内容：

本文主要介绍函数y=1ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。

函数定义域：

根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：

(9+1x)/1x＞0，即不等式解集等同于x(9+x)>0，则x>0或者x＜-9, 所以函数的定义域为：(-∞，-9)∪(0，+∞)。

函数的单调性：

本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：

∵y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)

=1[ln(9+x)-lnx]-9/(9+x),

∴dy/dx=[1/(9+x)-1/x]+9/(9+x)^2

=[x-(9+x)]/[x(9+x)]+9/(9+x)^2

=9{1/(9+x)^2-1/[x(9+x)]}

=-81/[x(9+x)^2]。

可知函数的单调性与x的符号有关，即：

(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。

进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。

函数的凸凹性：

∵dy/dx=-81/[x(9+x)^2]

∴d^2y/dx^2=81*[(9+x)^2+2x(9+x)]/\n[x^2(9+x)^4]

=81*[(9+x)+2x]/\n[x^2(9+x)^3]

=81*(9+3x)/ [x^2(9+x)^3]

令d^2y/dx^2=0,则有9+3x=0,即x=-3,

此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：

(1)当x∈(0，+∞)时，有(9+3x)>0且(9+x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，有(9+3x)<0且(9+x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

综合可知函数在定义区间上均为凹函数。

函数的极限：

根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：

Lim(x→+∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-9-) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞;

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Lim(x→0+) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞。

仲废万2147证明当x>0时,不等式 x/(1+x)巫叔董17590343812 ______[答案] 设f(x)=ln(1+x) 则f'(x)=1/(1+x) 在[0,x]上应用拉格朗日中值定理 存在ξ∈(0,x) 使得 ln(1+x)-ln(1+0)=f'(ξ)(x-0) 即 ln(1+x)=f'(ξ)·x 由于0<ξ

仲废万2147将函数ln(1+x)展开成x的幂级数,ln(1+x)= -
巫叔董17590343812 ______ ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-……-(-x)ⁿ/n-……级数收敛区间:(-1,1].

仲废万2147求证不等式x>ln(1+x),其中x>0我知道其是对ln(1+x) - x求导数,解出来是1/(1+x) - 1= - x/(1+x)∵x>0则 - x/(1+x) -
巫叔董17590343812 ______[答案] y=x-㏑(1+x),y|[x=0]=0 y′=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0 [当x>0] 对x>0,从中值定理 y(x)-y(0)=y′(ξ)(x-0) ξ∈(0,x)当然ξ>0 x-㏑(1+x)=y(x)=xy′(ξ)>0,x>㏑(1+x)

仲废万2147运用函数单调性证明不等式当x>0时,ln(1+x)>x/1+x -
巫叔董17590343812 ______[答案] ln(1+x)>x/(1+x)设f(x)=ln(1+x)-x/(1+x) (x>0) f'(x)=1/(1+x)-[(1+x)-x]/(1+x)^2 =1/(1+x)-1/(1+x)^2 =x/(1+x)^2∵x>0∴f'(x)>0恒成立∴f(x)为(0,+∞)上的增函数∴f(x)>f(0)=ln1-0/(1+0)=0即ln(1+x)>x/(1...

仲废万2147证明不等式X大于0,X大于ln(1加X) -
巫叔董17590343812 ______[答案] 设y=x-ln(1+x)求导得y'=1-1/(1+x)当x>0时,1/(1+x)恒小于1所以y'恒大于0,即y函数关于x递增当x=0时有y最小值为0-ln1=0,但0取不到所以有y>0恒成立 从导数的性质和其对于原式得影响得出结论

仲废万2147证明不等式当x>1时,有ln(1+x)>arctanx/(1+x) -
巫叔董17590343812 ______[答案] 令f(x)=ln(x+1)-arctanx/(1+x) 则导数f'(x)=(x^3+x^2+atan(x)+atan(x)*x^2)/(x+1)^2/(1+x^2) 因x>1,故f'(x)恒>0 故f(x)在x>1上单增 故f(x)>f(1)=ln2-(pi/4)/(1+1)>0 故f(x)=ln(x+1)-arctanx/(1+x)>0 命题得证

仲废万2147不等式证明,当x>1时,有ln(1+x)>arctanx/(1+x) -
巫叔董17590343812 ______[答案] 利用导数吧.设y=ln(1+x)-arctan[x/(1+x)] (x>1) 所以,y'=1/(1+x) - 1/[(1+x)^2 +x^2]>0,则函数y=ln(1+x)-arctan[x/(1+x)] 单调递增,所以当x>1时,有ln(1+x)>arctan[x/(1+x)].

仲废万2147证明不等式:当x>0时,ln(1+x)>x - x2/2 -
巫叔董17590343812 ______[答案] f(x)=ln(x+1)-x+x^2/2f'=1/(x+1)-1+x=(x^2+x-x-1+1)/(x+1)=(x^2)/(x+1)当x>0时,f'=(x^2)/(x+1)>0f(x)=ln(x+1)-x+x^2/2递增f(x)>f(0)=0即:ln(x+1)-x+x^2/2>0ln(1+x)>x-x2/2

仲废万2147当x>1 证明不等式x>ln(1+x) -
巫叔董17590343812 ______[答案] 证: 设f(x)=x-ln(1+x) x=1时,f(1)=1-ln2=lne-ln2=ln(e/2)>ln1 ln(1)=0 f(1)>0 f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x) 分子分母均为正,f'(x)>0 f(x)单调递增,x>1时,f(x)>f(1)>0 x-ln(1+x)>0 x>ln(1+x)

仲废万2147ln(1+x^2)等于ln1+lnx^2吗? -
巫叔董17590343812 ______[答案] 不等. 当然我们有: ln a+ln b=ln a*b 对于你的特例:ln 1+ln x^2=ln 1*x^2=ln x^2