ln(1+x)的不等式
函数y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的性质
主要内容：
本文主要介绍函数y=1ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。
函数定义域：
根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：
(9+1x)/1x＞0，即不等式解集等同于x(9+x)>0，则x>0或者x＜-9, 所以函数的定义域为：(-∞，-9)∪(0，+∞)。
函数的单调性：
本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：
∵y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)
=1[ln(9+x)-lnx]-9/(9+x),
∴dy/dx=[1/(9+x)-1/x]+9/(9+x)^2
=[x-(9+x)]/[x(9+x)]+9/(9+x)^2
=9{1/(9+x)^2-1/[x(9+x)]}
=-81/[x(9+x)^2]。
可知函数的单调性与x的符号有关，即：
(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。
(2)当x∈(-∞，-9)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。
进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。
函数的凸凹性：
∵dy/dx=-81/[x(9+x)^2]
∴d^2y/dx^2=81*[(9+x)^2+2x(9+x)]/\n[x^2(9+x)^4]
=81*[(9+x)+2x]/\n[x^2(9+x)^3]
=81*(9+3x)/ [x^2(9+x)^3]
令d^2y/dx^2=0,则有9+3x=0,即x=-3,
此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：
(1)当x∈(0，+∞)时，有(9+3x)>0且(9+x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。
(2)当x∈(-∞，-9)时，有(9+3x)<0且(9+x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。
综合可知函数在定义区间上均为凹函数。
函数的极限：
根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：
Lim(x→+∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;
Lim(x→-∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;
Lim(x→-9-) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞;
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Lim(x→0+) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞。
阙滢吕4614如何证明不等式 ln(1+x)>x/(1+x)?(x>0)应该是要用到导数的概念的吧?怎么证明阿? -
扶仁纯19288475105 ______[答案] 设f(x)=ln(1+x)-x/(1+x) f′(x)=1/(1+x)-1/(1+x)²=[1/(1+x)][1-1/(1+x)]>0 f(x)在[0,+∞)单调增加, 所以当x>0时, f(x)>f(0)=0,即ln(1+x)>x/(1+x)
阙滢吕4614当x>0时,证明不等式ln(1+x)>x - 1/2x²成立 -
扶仁纯19288475105 ______[答案] 令f(x)=ln(1+x)-x+1/2x^2 f'(x)=1/(1+x)-1+x=x^2/(x+1)>0 单调递增在x>0上 又f(0)=0-0+0=0 f(x)>f(0)=0 故成立
阙滢吕4614大一,单调性证不等式,利用单调性证明下列不等式x≥0时,ln(1+x)≥arctanx/(1+x) -
扶仁纯19288475105 ______[答案] 令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx(x≥0) 则f'(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x^2) 因为当x>0时,ln(1+x)>ln1=0, 所以,当x>0时,ln(1+x)+1>1/(1+x^2) 所以当x>0时,f'(x)>0 所以f(x)在[0,+无穷大)上是增函数 所以当x≥0时,f(x)≥f(0)=0 所以当x≥0时,(1+x)ln(1+x)≥...
阙滢吕4614不等式证明,当x>1时,有ln(1+x)>arctanx/(1+x) -
扶仁纯19288475105 ______[答案] 利用导数吧.设y=ln(1+x)-arctan[x/(1+x)] (x>1) 所以,y'=1/(1+x) - 1/[(1+x)^2 +x^2]>0,则函数y=ln(1+x)-arctan[x/(1+x)] 单调递增,所以当x>1时,有ln(1+x)>arctan[x/(1+x)].
阙滢吕4614证明不等式:当x>0时,ln(1+x)>x - x2/2 -
扶仁纯19288475105 ______[答案] f(x)=ln(x+1)-x+x^2/2f'=1/(x+1)-1+x=(x^2+x-x-1+1)/(x+1)=(x^2)/(x+1)当x>0时,f'=(x^2)/(x+1)>0f(x)=ln(x+1)-x+x^2/2递增f(x)>f(0)=0即:ln(x+1)-x+x^2/2>0ln(1+x)>x-x2/2
阙滢吕4614运用函数单调性证明不等式当x>0时,ln(1+x)>x/1+x -
扶仁纯19288475105 ______[答案] ln(1+x)>x/(1+x)设f(x)=ln(1+x)-x/(1+x) (x>0) f'(x)=1/(1+x)-[(1+x)-x]/(1+x)^2 =1/(1+x)-1/(1+x)^2 =x/(1+x)^2∵x>0∴f'(x)>0恒成立∴f(x)为(0,+∞)上的增函数∴f(x)>f(0)=ln1-0/(1+0)=0即ln(1+x)>x/(1...
阙滢吕4614证明不等式当x>1时,有ln(1+x)>arctanx/(1+x) -
扶仁纯19288475105 ______[答案] 令f(x)=ln(x+1)-arctanx/(1+x) 则导数f'(x)=(x^3+x^2+atan(x)+atan(x)*x^2)/(x+1)^2/(1+x^2) 因x>1,故f'(x)恒>0 故f(x)在x>1上单增 故f(x)>f(1)=ln2-(pi/4)/(1+1)>0 故f(x)=ln(x+1)-arctanx/(1+x)>0 命题得证
阙滢吕4614当x>0时,证明不等式ln(1+x)>x - 1/2x成立 -
扶仁纯19288475105 ______[答案] 令f(x)=ln(1+x)-x+1/2x^2 f'(x)=1/(1+x)-1+x=x^2/(x+1)>0 单调递增在x>0上 又f(0)=0-0+0=0 f(x)>f(0)=0 故成立
阙滢吕4614证明当x>0时,不等式 x/(1+x) 阙滢吕4614已知x>1 证明不等式x>ln(1+x)
扶仁纯19288475105 ______ 令f(x)=x-ln(1+x),x>1 f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0 则f(x)递增 f(x)>f(1)>f(0)=0 x-ln(1+x)> x>ln(1+x)