方向导数的计算例题

滕富饼629求函数u=xyz在点M(3,4,5)处沿锥面z^2=x^2+y^2外法线方向的方向导数. -
籍绿夏19782108230 ______[答案] z^2=x^2+y^2 令 F(x,y,z)=x²+y²-z² Fx=2x Fy=2y Fz=-2z 所以 法向量为:n=1/(5√2)(3,4,-5) (因为外法线) ux=yz=20 uy=xz=15, uz=xy=12 所以 方向导数为:1/(5√2)*【3*20+4*15-5*12】=12/(√2)=6√2.

滕富饼629求函数u=x+y+z在球面x^2+y^2+z^2=1上点(x0,y0,z0)处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数 -
籍绿夏19782108230 ______[答案] 先求出球面外法线方向的方向矢量(法矢量): f'x=2x,f'y=2y,f'z=2z.得法矢量为(x0,y0,z0)单位化:1/√(x0^2+y0^2+z0^2)(x0,y0,z0)=(x0,y0,z0)[即本身已经是单位向量] 得到法矢量后,直接用公式求方向导数:p=1*x0+1*y0+1*z0=x0+y0+z0.

滕富饼629求函数u=x^3 - xy^2 - z在点p(1,1,0)处变化最快的方向,以及沿这个方向的方向导数 -
籍绿夏19782108230 ______[答案] 梯度=(3x^2-y^2)i+(-2xy)j-1k=2i-2j-k 所以函数沿梯度(2,-2,1)方向变化最快 方向导数=│梯度│=3

滕富饼629高数方向导数:求函数u=x2+y2+z2 - xy+yz在点(1,1,1)处方向导数的最大值及相应的方向 -
籍绿夏19782108230 ______[答案] 单位向量n的方向导数定义为 (▽u)·n =|▽u|cosa a是两者的夹角,最大时显然夹角为0,即n和▽u方向一致 最大值即为|▽u| ▽u=|(1,1,1) = 所以最大值为|▽u|=根号(1^2+2^2+3^2)=根号14 n是单位向量,且和▽u同向 所以方向n=▽u/|▽u|=

滕富饼629设u=lnx2+y2+z2,则u在点M0(1, - 1,2)处的方向导数的最大值为6666. -
籍绿夏19782108230 ______[答案] 由已知,有 ux|M0= x x2+y2+z2|M0= 1 6, 6 6,uy|M0= y x2+y2+z2|M0= −1 6,uz|M0= z x2+y2+z2|M0= 1 3, ∴gradu(M0)= 1 6(1,−1,2) 由于方向导数 ∂u ∂l|M0=(u′x|M0,u′y|M0,u′z|M0)•(cosα,cosβ,cosγ),其中(cosα,cosβ,cosγ)是l的方向向量 因此,当l...

滕富饼629求二元函数z=x2 - xy+y2在点( - 1,1)沿方向l={2,1}的方向导数及梯度,并指出z在该点沿哪个方向减少得最快?沿哪个方向z的值不变? -
籍绿夏19782108230 ______[答案] 函数z处处可微,且 ∂z ∂x=2x-y, ∂z ∂y=2y-x. 将向量 l单位化可得: l0= l |l|=( 2 5, 1 5). 故函数z在点(-1,1)处的梯度为:( ∂z ∂x, ∂z ∂y)|(−1,1)=(-3,3), 在点(-1,1)处沿向量 l的方向导数值为:(计算z在点(-1,1)处的梯度,与对应于 l的单位...

滕富饼629高等数学求方向导数题怎么求法求z=(x^2+y^2)^(1/2)在(0,0)处沿(1,0)方向的方向导数,该怎么求啊为什么说在(0,0)处z对x的偏导数不存在,而这个方向导... -
籍绿夏19782108230 ______[答案] 这个得用方向导数的定义来求,αz/αl=lim(t→0+) [f(t,0)-f(0,0)]/t=lim(t→0+) |t|/t=lim(t→0+) t/t=1偏导数:f(x,0)=|x|,在x=0处不可导,所以z对x的偏导数不存在.根据偏导数以及方向导数的定义可知:f(x,y)在(x0,y...

滕富饼629函数u=xy2z在点P(1, - 1,2)处沿______方向的方向导数值最大,最大的方向导数值为2121. -
籍绿夏19782108230 ______[答案] 由u=xy2z,得gradu(1,-1,2)=(ux,uy,uz)|(1,-1,2)=(y2z,2xyz,xy2)|(1,-1,2)=(2,-4,1) 而方向导数 ∂u ∂l|M0=(u′x|M0,u′y|M0,u′z|M0)•(cosα,cosβ,cosγ),其中(cosα,cosβ,cosγ)是l的方向向量 因此,当l的方向与梯度的方向一致时,方向导数取得最大 ∴u在点...

滕富饼629请数学高手解释高数中这道关于方向导数的例题:设由原点到(x、y)的向径为r,从x轴正向沿逆时针方向
籍绿夏19782108230 ______ α、β是平面坐标系内任一方向l 对应的方向角,任意取值. θ是平面上点P(x,y)对应的一个角,实为极坐标系下点P的极角(这里告诉你了r和θ,其实就是极坐标系了).函数的定义域内的每一个点对应一个θ 这里是平面坐标系

滕富饼629方向导数题 -
籍绿夏19782108230 ______ cosα = 1/√(1+2+1) = 1/2 cosβ = √2/√(1+2+1) = √2/2 cosγ = 1/√(1+2+1) = 1/2 ∂u/∂x = y² - yz = 3 ∂u/∂y = 2xy - xz = 0 ∂u/∂z = 3z² - xy = 12 方向导数 =1/2 * 3 + √2/2 * 0 + 1/2 * 12 =15/2