条件收敛都是交错级数吗
萧箫 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI陶哲轩又发新论文了！
这也是时隔一年，他再次独立发表新论文。（arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月）
这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。
它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）提出的一个交错素数级数猜想，在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下，是成立的。
（当然，哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想，因此这项研究只是部分证明，并没有完全解决）
这项研究，还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。
一起来看看。
证明了什么样的猜想？
核心来说，这篇新论文要证明的，是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。
这个猜想与一个长这样的交错级数有关，其中pn是第n个素数：
交错级数，指的是项的符号是正负交替、而数值绝对值单调递减的无限级数。它的一般形式，大伙儿在学高数时应该都见过：
但交错级数并不一定收敛，因此需要具体级数具体判断，这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型，即an是素数pn的倒数，这个级数是收敛的。
不过，还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。
哈代-李特尔伍德素数k元组猜想，由英国科学家哈代和李特尔伍德提出，它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。
猜想认为，存在两个绝对常数ε>0和C>0，对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组：
使得这个式子成立：
不过，这个猜想至今尚未解决。
这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上，证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步：
首先，基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。
由于证明这个猜想，实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。
转化为这个问题之后，实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。
因此，接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上，估计了短区间内k个素数的概率。
然后，陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型，来建模素数分布。
最后基于这个模型建立的分布证明猜想。
这篇博客发出后不久，就有网友赶来点赞，表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想：
点赞！
我3周前刚在Thomas Bloom的网页上发现了这个猜想，不过只有这篇论文第一句话的内容。
我从计算（computational）的角度尝试搞定它。我把它看作是观察每个结果的偶数和奇数索引之间的差异，然后尝试进行曲线拟合，以确定差异可能为零的位置。
虽然不知道我的数据是否对解决这个问题有帮助，不过至少这提高了我的编程技能。
我还需要一些时间来消化你的论文，感谢！
One More Thing
值得一提的是，2004年陶哲轩和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）另一个更著名的等差数列猜想而来。
其中，埃尔德什等差数列猜想如下：
格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内，相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”：
埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。
这些年除了陶哲轩以外，也有不少数学家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年，证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列，将这个问题又向前推进了一步。
感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了（手动狗头）
新论文地址：
https://arxiv.org/abs/2308.07205参考链接：
[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117— 完 —
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冷童莲2927判断级数是否为绝对收敛或条件收敛,Σ(1到无穷)(1/n)sin(nπ/2) -
蓟选录19665589475 ______ sin(nπ/2)/n=1-1/3+1/5-1/7+....... 由莱布尼兹交错级数判别定理:级数1-1/3+1/5-1/7+.......收敛 但级数1/(2n-1)发散 故原级数条件收敛
冷童莲2927怎么判断 baum - welch算法收敛 -
蓟选录19665589475 ______ 1:先判断是否收敛. 2:如果收敛,且为交错级数,则绝对收敛. 其实就是交错级数如果加绝对值收敛则为条件收敛,如果交错级数不加绝对值也收敛,则为绝对收敛.
冷童莲2927级数的一般项是什么
蓟选录19665589475 ______ 数项级数的收敛性问题是数学分析中研究的基本内容之一.数项级数主要分为正项级数和一般项级数,一般项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂.在此,我们只讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题,比如:交错级数,绝对收敛级数,条件收敛级数.若级数的各项符号正负相间,即则称(1)为交错级数.
冷童莲29271/√n是绝对收敛还是条件收敛 -
蓟选录19665589475 ______ 所谓条件收敛是指正负交错级数本身收敛,而带上绝对值以后发散,绝对收敛是指带不带绝对值都收敛,一致收敛是指级数收敛于某函数.一致收敛:函数项级数∑?(n:1 → +∞) Un(x)在Un(x)的定义区间A上收敛于极限函数f(x),若对于任意给定的正实数ε?,都存在一个只与ε?有关与x无关的正整数N,使得对于任意的n>N以及x∈A都有|f(x) - ∑(i:1→n) ?Ui(x)|
冷童莲2927条件收敛的级数必绝对收敛 -
蓟选录19665589475 ______ 错.反例:1-1/2+1/3-1/4+1/5-...很显然,交错级数收敛,但是取绝对值后变成调和级数,就发散了
冷童莲2927交错级数都收敛吗? -
蓟选录19665589475 ______ 如果是 发散的话 那就是 前面的那个绝对值小于后面那个绝对值 但是我认为是前面的大于后面的 !莱布尼茨定理 成立的 ? 我的答案的条件收敛 是错的
冷童莲2927 判断级数的收敛性指出是条件收敛还是绝对收敛性,并且要具体过程 -
蓟选录19665589475 ______ 如图所示,判断级数是绝对收敛还是条件收敛, 第一步是判断绝对值下的级数是否收敛,若收敛则是绝对收敛,且原级数也收敛;若发散,则需要判断原级数是否收敛,若原级数收敛,则是条件收敛.这里题目是交错级数,交错级数判断敛散性,根据莱布尼兹判别法判别,但这里绝对值下的级数收敛,是绝对收敛,所以就不用判断交错级数的敛散.
冷童莲2927高数题 证明一题(交错级数)是条件收敛还是绝对收敛 -
蓟选录19665589475 ______ n'2)/(1/2)而n趋近无穷时 ln(1+1/2收敛性相同,显然后者收敛原级数是交错级数;n'n',由莱布尼茨判别法,原级数收敛. |【(-1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】|=ln(1+1/n'2)=lne=1 所以ln(1+1/n'2)与1/,所以ln(1+1/n'2)收敛
冷童莲2927条件收敛的交错级数为什么奇数项和偶数项都发散?是否可能奇数项和偶?
蓟选录19665589475 ______ 这是因为我在发答案时发现他提前结题了,所以我让他重新发.但是楼主还是发错了. 级数但凡收敛,无论是【条件收敛】还是【绝对收敛】,其【奇数项】和【偶数项】...
冷童莲2927收敛域里面包括使级数条件收敛的收敛点吗 -
蓟选录19665589475 ______ 收敛域只要级数在该点收敛即可, 因此包括条件收敛的点.例如幂级数∑x^n/n的收敛域就是[-1,1), 在-1处是条件收敛的.