设a是n阶反称可逆矩阵
董邹思2058设A是n阶矩阵,并且A是可逆的,证明:如果A与A的逆矩阵所有元素都是整数,则A的行列式是 - 1或1 -
濮例江13950754728 ______[答案] 因为 A和A^-1的元素均为整数 所以 |A|,|A^-1| 都是整数 又因为 AA^-1 = E 所以 |A||A^-1| = |E| = 1 所以 |A|,|A^-1| 这两个整数同时为1或-1 即有 |A|=1或-1.
董邹思2058设A是n阶反称矩阵,B是n阶对称矩阵.(1)问A∧k,B∧k是否为对称矩阵或反衬矩阵?(2)证明AB - BA是n阶对称矩阵. -
濮例江13950754728 ______ A是n阶反称矩阵 ===》A=-A' 这里'为转置 B是n阶对称矩阵 ===》B=B' (1): (A^k)'=(AA....A)'=A'A'....A'=(A')^k=(-A)^k=(-1)^k A^k (k偶数时,对称阵;k奇数时,反对称) (B^k)'=(BB....B)'=B'B'....B'=(B')^k=B^k (对称阵) (2) (AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'=B(-A)-(-A)B=-BA+AB=AB-BA 所以 AB-BA对称.
董邹思2058设A是n阶可逆矩阵 若A的每一行元素之和为c 求证A^ - 1每一行元素之和1/c -
濮例江13950754728 ______[答案] 证明:设 x=(1,1,...,1)^T. 由已知A的每一行元素之和为c 所以 Ax = (c,c,...,c)^T = cx. 所以 A^-1Ax = cA^-1x 即 x = cA^-1x 所以 A^-1x = (1/c)x. --注:因为A可逆,故c≠0 所以A^-1的每一行元素之和为 1/c.
董邹思2058设A 是 N阶可逆矩阵,将A 的第I行与第J行对换得到B ,证明B 为可逆矩阵.并指出A 和B,A^* 和B^*间的关系希望老师给我讲解一下. -
濮例江13950754728 ______[答案] 由已知, B=E(i,j)A, 其中E(i,j)是单位矩阵交换i,j行得到的初等矩阵则E(i,j)可逆, 且E(i,j)^-1=E(i,j).因为 |B| = |E(i,j)||A| = -|A|≠0, 所以B可逆.且 B*=(E(i,j)A)*=A*E(i,j)*=A*|E(i,j)|E(i,j)^-1=-A*E(i,j).所以...
董邹思2058设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆.(2)求AB - 1. -
濮例江13950754728 ______[答案] 证明: (1) 令:Eij表示单位阵中的第i行和第j行对换, 则由题意B=EijA,而Eij是初等矩阵,是可逆的, 又A是可逆的, 根据逆矩阵的乘积依然是可逆的,得: B=AEij可逆. (2) ∵B=EijA, ∴B-1=(EijA)-1=A-1•Eij-1=A-1Eij,(Eij的逆矩阵依然为本身...
董邹思2058设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B,求AB^ - 1
濮例江13950754728 ______ 这是线性代数一个重要定理 1.A是n阶可逆矩阵,则A的行列式不等于零,A的第i行和第j行对换后得到矩阵B,矩阵B与矩阵A的行列式仅差一个符号,故矩阵B的行列式也不等于零,故矩阵B也可逆. 2.矩阵B是由A的第i行和第j行对换得到,故 B=I(i,j)A,其中I(i,j)是将单位阵I交换第i,j两行得的交换阵, B^-1=A^-1*I(i,j)^-1=A^-1*I(i,j)(I(i,j)的逆是其自身) AB^-1=AA-1*I(i,j)=I(i,j) 故AB^-1=I(i,j),即AB^-1等于单位阵I交换第i,j两行得的交换阵.
董邹思2058设A为n阶实反对称矩阵,即A^T= - A,证明:1)A的特征值只能是0或纯虚数;2)E+A可逆; -
濮例江13950754728 ______ A是实反对称矩阵 => A是反Hermite矩阵 <=> iA是Hermite矩阵(i是虚数单位) 注意Hermite阵的特征值都是实数, 所以A的特征值只能在虚轴上 第二题是第一题的显然推论 至于第三题, 可以用Hermite阵的谱分解加上第一题的结论来做, 也可以直接用乘法验证QQ^T=I
董邹思2058刘老师:设A是n阶反对称矩阵,E是n阶单位矩阵.证明:e+a可逆 怎么证明? -
濮例江13950754728 ______[答案] 结论: 实反对称矩阵A的特征值只能是0或纯复数, 所以 -1 不是A的特征值, 所以 0 不是 E+A 的特征值 所以 A+E 可逆
董邹思2058设A为n阶可逆矩阵,U,V为为n*m矩阵,Em为m阶单位矩阵,若秩(V'A - 1U+Em)<m, -
濮例江13950754728 ______ 考虑分块矩阵B = [A,-U;V',Em], P = [En,U;0,Em], Q = [En,A^(-1)U;0,Em]. 可知P, Q可逆, 故r(PB) = r(B) = r(BQ). 而PB = [A+UV',0;V',Em], 有r(PB) = r(A+UV')+r(Em) = r(A+UV')+m. 又BQ = [A,0;V',Em+V'A^(-1)U], 有r(BQ) = r(A)+r(Em+V'A^(-1)U) = n+r(Em+V'A^(-1)U) (r(A) = n). 即得r(A+UV') = n+r(Em+V'A^(-1)U)-m < n.
董邹思2058A是n阶实反对称矩阵,证明A+E是可逆矩阵 -
濮例江13950754728 ______[答案] 假设A+E不可逆,则|A+E|=0 所以-1是A的一个特征值 设ξ是属于-1的一个特征向量 则A^2ξ = A(-ξ) = -Aξ = ξ 但A^2=A 所以A^2ξ = Aξ = -ξ 矛盾