设a是n阶方阵且a5

宗差杜5233设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r,则A - E的秩为n - r,其中E是n阶单位矩阵. -
虞刻宁19478105622 ______[答案] 因为:A2=A,所以:A(A-E)=0, 则:r(A)+r(A-E)≤n, 又因为:r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n, 所以:r(A)+r(A-E)=n, 则:r(A-E)=n-r, 证毕.

宗差杜5233设A为n阶方阵,且A^2 - A=2I,证明:R(2I - A)+R(I+A)=n由A² - A=2I得A² - A - 2I=0(A - 2I)(A+I)=0所以R(A - 2I)+R(A+I)≤n又R(A - 2I)=R(2I - A)故 R(2I - A)+R(A+I)≤n又R(2I - ... -
虞刻宁19478105622 ______[答案] 这是一个普遍的结论. 今描述如下:A,B都是n阶方阵,AB=0,则r(A)+r(B)

宗差杜5233设A是n阶方阵,且(A+E)的平方=O,证明A可逆 -
虞刻宁19478105622 ______[答案] (A+E)的平方=O A²+2A+E=O A(A+2E)=-E A(-A-2E)=E 所以 有定义可知 A可逆.

宗差杜5233设A为n阶方阵,且A的行列式|A|=a≠0,而A*是A的伴随矩阵,则|A*|等于( ) -
虞刻宁19478105622 ______[选项] A. a B. 1 a C. an-1 D. an

宗差杜5233设A是n阶方阵,且A^2=A,求证A+E可逆 -
虞刻宁19478105622 ______[答案] (A+E)(A-2E)=A^2-A-2E=-2E (A+E)[(A-2E)/-2]=E 证到这步可以得出A+E与E-A/2互为逆矩阵

宗差杜5233设A是n阶方阵(n>=2),且|A|=1则|2A|=多少 -
虞刻宁19478105622 ______[答案] |2A|=2,方阵是行与列相同的矩阵.对于矩阵A,|A|就是矩阵的模,也是它对应的行列式的值.由行列式性质可以知道,将行列式中每个数同乘以k,值也乘以k.

宗差杜5233设A为n阶方阵,且A是可逆的,证明det(adjA)=(detA)的(n - 1)次方 -
虞刻宁19478105622 ______[答案] 有个重要关系式:AA*=det(A)E,A*是A的伴随阵.取行列式得 det(A)det(A*)=det(A)^ndet(E)=det(A)^n,由于det(A)不等于0, 因此有det(A*)=(det(A))^(n-1). 顺带说一句,此式当det(A)=0时也成立.

宗差杜5233设A是n阶方阵,|A|=0,且A中有一个元素的代数余子式不为零,则其次线性方程组AX=0解的基础解系所含向量的个设A是n阶方阵,|A|=0,且A中有一个元素... -
虞刻宁19478105622 ______[答案] A 因为|A|=0,且A中有一个元素的代数余子式不为零,则A的秩为n-1,则AX=0的解空间是1维的

宗差杜5233设A为n阶方阵,且秩R(A)=n - 1,a1,a2是非齐次方程组 AX=b的两个不同的解向量,则AX=0的通解为AX=0的通解为 k (a1 - a2).为什么不是k(a1+a2) -
虞刻宁19478105622 ______[答案] 由于 a1,a2 是 AX=b 的不同的解 所以 a1-a2 是 AX=0 的非零解 而 n-r(A) = n - (n-1) = 1 所以 a1-a2 是 Ax=0 的基础解系 所以AX=0的通解为 k(a1-a2). a1+a2 不是 Ax=0 的解.