x减ln(1+x)的极限

函数y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的性质

主要内容：

本文主要介绍函数y=1ln[(9+x)/x]-9/(9+x)的定义域、单调性、凸凹性和极限等性质，并通过导数知识求解函数单调区间和凸凹区间的主要过程。

函数定义域：

根据函数特征，函数主要由对数和分数函数组成，则根据对数函数和分数函数定义要求，有：

(9+1x)/1x＞0，即不等式解集等同于x(9+x)>0，则x>0或者x＜-9, 所以函数的定义域为：(-∞，-9)∪(0，+∞)。

函数的单调性：

本例主要通过函数导数来解析函数的单调性，步骤如下：

∵y=ln[(9+x)/x]-9/(9+x)

=1[ln(9+x)-lnx]-9/(9+x),

∴dy/dx=[1/(9+x)-1/x]+9/(9+x)^2

=[x-(9+x)]/[x(9+x)]+9/(9+x)^2

=9{1/(9+x)^2-1/[x(9+x)]}

=-81/[x(9+x)^2]。

可知函数的单调性与x的符号有关，即：

(1)当x∈(0，+∞)时，即x>0，此时dy/dx<0，则函数为减函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，即x<0，此时dy/dx>0，则函数为增函数。

进一步分析可知当x趋近无穷大处有极小值。

函数的凸凹性：

∵dy/dx=-81/[x(9+x)^2]

∴d^2y/dx^2=81*[(9+x)^2+2x(9+x)]/\n[x^2(9+x)^4]

=81*[(9+x)+2x]/\n[x^2(9+x)^3]

=81*(9+3x)/ [x^2(9+x)^3]

令d^2y/dx^2=0,则有9+3x=0,即x=-3,

此时根据函数的定义域，函数的凸凹性及凸凹区间如下：

(1)当x∈(0，+∞)时，有(9+3x)>0且(9+x)^3>0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

(2)当x∈(-∞，-9)时，有(9+3x)<0且(9+x)^3<0，则d^2y/dx^2>0，所以此时函数为凹函数。

综合可知函数在定义区间上均为凹函数。

函数的极限：

根据函数的定义域，函数的主要特征极限如下：

Lim(x→+∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-∞) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)=ln1=0;

Lim(x→-9-) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞;

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Lim(x→0+) ln[(9+x)/x]-9/(9+x)= +∞。

干胀舍4473当X趋近于0时,ln(1+2X)除以X的极限是什么 -
利曲彼18739839255 ______ lim[ln(1+2x)]/x x……0 =2lim[ln(1+2x)]/(2x) x……0 因为 ln(1+2x)和 2x 当x趋向于0时,是等价无穷小, 所以 lim[ln(1+2x)]/(2x) =1 x……0 所以这个极限=2

干胀舍4473lim x - >0 [(1+tanx)^1/2 - (1+sinx)^1/2]/[xln(1+x) - x^2] -
利曲彼18739839255 ______ 上下都乘以(1+tanx)^1/2-(1+sinx)^1/2则,分子变为(1+tanx)-(1+sinx)=tanx-sinx 分母变为[xln(1+x)-x^2]*[(1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2] 原式=LIM【(tanx-sinx)/{[xln(1+x)-x^2]*[(1+tanx)^1/2+(1+sinx)^1/2]} 】=LIM【(tanx-sinx)/[x(ln(1+x)-x)]】*LIM...

干胀舍4473在x趋近于0的情况下 lim ln(1+x)/x=1 如何转化成 在x趋近于0的情况下 lim a的x次减一除以x等于lna -
利曲彼18739839255 ______ 楼主是大学生么?是的话直接用罗比达求导就能够使lim(a^x-1)/x=lna.当x→0时,a^x-1→0,x→0,整个式子为零比零型,这个时候就能用罗比达法则直接对分子分母进行求导.分母求导:(a^x-1)'=a^x*lna,分子求导:x'=1 所以有lim(a^x-1)/x=lima^x*lna/1,而x→0时,a^x=1,所以原极限就等于lna.

干胀舍4473x/2 - ln(1+x),当x趋近正无穷大时的极限 -
利曲彼18739839255 ______[答案] 先看原式的倒数lim(x->+∞) 1/[x/2-ln(1+x)]=lim(x->+∞) (2/x)/[1-[2ln(1+x)]/x]其中lim(x->+∞) [ln(1+x)]/x (洛必达)L'H=lim(x->+∞) 1/(1+x)=0所以lim(x->+∞) (2/x)/[1-[2ln(1+x)]/x]=0/(1-0)=0无穷小的倒数是...

干胀舍4473函数y=ln(1+x^2) 在区间[ - 1,2]上的最大值为() A. 4 B. 0 C. 1 D. ln5 -
利曲彼18739839255 ______ 答:y=ln(1+x^2) 抛物线f(x)=1+x^2在x<0是减函数 在x>0是增函数 所以:x<0,y是减函数 x>0,y是增函数 y(-1)=ln(1+1)=ln2 y(2)=ln(1+4)=ln5 选择D

干胀舍4473lim 1/x - ln(1+x)/x² x→0 -
利曲彼18739839255 ______[答案] limx→0 1/x-ln(1+x)/x² =limx→0 [x -ln(1+x)] / x² 分子分母都趋于0,使用洛必达法则,同时求导 =limx→0 [1- 1/(1+x)] /2x =limx→0 [x/(1+x)] /2x =limx→0 1/(1+x) *1/2 代入x=0 =1/2 所以得到极限值为1/2

干胀舍4473lim(e^2x - 1)/ln(1+x),求当x→0时的极限 -
利曲彼18739839255 ______[答案] lim(e^2x-1)/ln(1+x),x→0 =lim 2e^2x(1+x),x→0(洛必塔法则) =2

干胀舍4473极限习题问题 为什么(x趋向0)lim(1 - cos)/[x - ln(1+x)]=sinx/[1 - 1/(1+x)]=lim(sinx/x)(1+x)要详细说明极限习题问题 为什么(x趋向0)lim(1 - cos)/[x - ln(1+x)]=sinx/[1 - ... -
利曲彼18739839255 ______[答案] (x→0)lim[(1-cosx)/[x-ln(1+x)]] 是0/0型,故用罗比塔法则,即先对分子、分母分别求导,再求极限 (x→0)lim[(1-cosx)/[x-ln(1+x)]] =(x→0)lim [sinx/[1-1/(1+x)]] =(x→0)lim(sinx/x)(1+x) =1

干胀舍4473求极限当x趋向于0时,分子上是3的x次方减1,分母上是ln(1+x) -
利曲彼18739839255 ______[答案] 这个可以利用等价无穷小来做因为e^x-1~xlim (3^x-1) / ln3*x换元t=3^x-1,x=log3(t+1)=lim t / ln3*log3(t+1)=lim 1 / ln3*log3(t+1)^(1/t)=1 / (ln3*lim ln(1+t)^(1/t) / ln3)=1 / ln3/ln3=1因此,3^x-1~ln3*x,而且ln...

干胀舍4473limx→0 x - sinx/ln(1+x立方)求极限 -
利曲彼18739839255 ______[答案] 为你提供精确解答 首先为你提供两个等价:当x趋近于0时, 1-cosx等价于(x^2)/2 ln(1+x)等价于x 现在求极限, x趋近于0时,lim(x-sinx)/ln(1+x^3)分母等价为x^3 =lim(x-sinx)/x^3分子分母求导 =lim(1-cosx)/(3x^2) =1/6