不可约多项式例题

秋唐司1706证明任何数域上的不可约多项式在复数域中无重根 -
廖段待18938116901 ______[答案] 若p(x)是数域F上的不可约多项式,那么p'(x)也是F上的多项式且gcd(p,p')=1,故p(x)在C上没有重根

秋唐司1706高等代数不可约一元多项式的一阶导数是否可约,如何证明? -
廖段待18938116901 ______[答案] 比如y=(x+1)^m/(x+2)^n y'=[m(x+1)^(m-1) (x+2)^n-n(x+2)^(n-1) (x+1)^m]/(x+2)^2n =[m(x+2)(x+1)^(m-1) -n(x+1)^m]/(x+2)^(n+1) 化简过程中,约掉了(x+2)^(n-1) 所以是可约的

秋唐司1706四阶不可约多项式的例子 -
廖段待18938116901 ______ 你要清楚不同特征根的特征向量线性无关, a的所有特征根共n个,a为n阶矩阵,那么它的特征根共n个(k重根算k个).而a的特征向量为n维向量,可以用n个基表出.若应于特征值λ的线性无关特征向量的个数=k+1,那么对于可逆阵a,其所有线性无关特征向量的个数之和>n,显然矛盾.(我只是用可逆阵做例子,有这样一个定理: r(a)=a的所有线性无关特征向量的个数之和.它可以由a最简化得证.)一般情况是一样的.

秋唐司1706证明不可约多项式p(x)没有重根 -
廖段待18938116901 ______[答案] 用反证法.设p(x)是数域F上的不可约多项式.假设a是p(x) (在复数域内)的重根,则有p(a) = 0,p'(a) = 0 (p'(x)为p(x)求导得到的多项式).若p(x)与p'(x)互素,则存在u(x),v(x) ∈ F[x]使得u(x)p(x)+v(x)p'(x) = 1,代入x = a...

秋唐司1706假设p(x)为F[x]中一个次数>=1的多项式,如果对于F[x]中任意多项式f(x)都有p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.证明:p(x)是数域F上的不可约多项式. -
廖段待18938116901 ______[答案] 设q(x)∈F[x]是p(x)的因式. 由条件,要么成立(p(x),q(x)) = 1,要么成立p(x) | q(x). 若(p(x),q(x)) = 1,由q(x)是p(x... 若p(x) | q(x),由q(x) | p(x),二者相差非零常数倍(相伴). 因此p(x)在F[x]中只有平凡因式(相伴于1或p(x)本身),即p(x)不可约.

秋唐司1706高等代数证明如果(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,那么(f(x),g(x)h(x))=1 -
廖段待18938116901 ______[答案] 反正法,若不互素存在一个不可约多项式p(x),使得p(x)|f(x),且p(x)|gh.由于不可约多项式p与任意多项式要么互素,要么整除.所以p整除g,h之一,推出矛盾

秋唐司1706求证与素数对应的多项式不可约. -
廖段待18938116901 ______ 记f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+...a1x+a0.反证:若整系数多项式 anx^n+an-1x^(n-1)+...a1x+a0在整数环上可约,设为f(x)=g(x)h(x).因为P为素数,其十进制表示为(anan-1...a1a0)10,故而a k(k=0~n)在0,、1、2、……9之中取值,进而知g(x)、h(x)...

秋唐司1706高等代数多项式证明,若p(x)为不可约多项式,p(x)不整除g(x),证明p(x)不整除g(x)p'(x)! -
廖段待18938116901 ______[答案] 注意到,K[x]中的不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)只存在两种关系:p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1因为p(x)不整除g(x),且显然有p(x)不整除p'(x)所以(p(x),g(x))=1、(p(x),p'(x))=1从而...

秋唐司1706a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f(x),使f(a)=0 -
廖段待18938116901 ______ 证明:因为(√2+√3)(√2-√3)=-1, (√2+√3)+(√2-√3)=2√2 故√2+√3是方程x^2-2√2x-1=0的根 x^2-2√2x-1=0,乘以x^2+2√2x-1得: (x^2-1)^2-(2√2x)^2=0,即:x^4-10x^2+1=0 取f(x)=x^4-10x^2+1,则f(x)为有理数域上的不可约多项式,且:f(a)=0