arctana±arctanb等于多少

函数y=arctan(3x+1)+2x的一阶和二阶三阶导数计算

主要内容：

本文主要用复合函数、和函数和函数商求导法则，并用幂函数、反正切函数的导数公式，介绍函数y=arctan(3x+1)+2x的三阶导数计算步骤。

导数公式：

本题主要用到的导数公式如下，其中c为常数：

A.若函数y=c，则导数dy/dx=0；

B.若函数y=cx，则导数dy/dx=c；

C.若函数y=arctanx，则导数dy/dx=1/(1+x^2)。

一阶导数计算：

因为：y=arctan(3x+1)+2x，由反正切和一次函数导数公式有：

所以：dy/dx=3/[1+(3x+1)^2]+2。

二阶导数计算：

因为：dy/dx=3x /[1+(3x+1)^2]+2,由函数商的求导法则有：

所以：d^2y/dx^2=-3*2(3x+1)*3/[1+(3x+1)^2]^2+0，

=-18(3x+1)/ [1+(3x+1)^2]^2。

三阶导数计算：

因为： d^2y/dx^2=-18 (3x+1)/ [1+(3x+1)^2]^2,

所以：

d^2y/dx^2=-18*{3[1+(3x+1)^2]^2-(3x+1)*2*[1+(3x+1)^2]*6(3x+1)}/ [1+(3x+1)^2]^4

=-18*{3 [1+(3x+1)^2]-(3x+1)*2*6 (3x+1)}/ [1+(3x+1)^2]^3

=-18*3{ [1+(3x+1)^2]-4(3x+1)(3x+1)}/ [1+(3x+1)^2]^3

=-18*3{ [1+(3x+1)^2]-4(3x+1)^2}/ [1+(3x+1)^2]^3

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=18*3 [3(3x+1)^2-1] / [1+(3x+1)^2]^3。

臧览鱼2629证明不等式 |arctana - arctanb|<|a - b| -
冶澜晴18399125074 ______ 只要证:|arctanb-arctana|/|b-a|≤1 取f(x)=arctanx,则存在ε属于[a,b]使 f'(ε)=(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ε^2) 显然|f'(ε)|≤1 故原式成立

臧览鱼2629若实数ab满足(a+1)(b+1)=2,则arctana+arctanb等于多少 -
冶澜晴18399125074 ______ 解:设α=arctana,β=arctanb α、β∈(0,π/2) 则tanα=a,tanβ=b ∵(a+1)(b+1)=2 ∴a+b=1-ab 于是 tan(α+β)=(a+b)/(1-ab)=1 ∴α+β=π/4 即arctana+arctanb=π/4

臧览鱼2629利用拉格朗日中值定理证明不等式(arctana - arctanb)的绝对值≤(a - b)的绝对值 -
冶澜晴18399125074 ______ 由于(arctanx)'=1/(1+x^2),故在[a.b]上对arctanx使用拉格朗日中值定理,得arctanb-arctana=(b-a)/(1+ξ^2),加绝对值得|arctana-arctanb|=|a-b|/|1+ξ^2|,由于1/|1+ξ^2|≤1,故|arctana-arctanb|≤|a-b|.

臧览鱼2629证明|arctana - arctanb|<=|a - b| -
冶澜晴18399125074 ______ 记f(x)=arctanx, f'(x)=1/(x^2+1) 由拉格朗日中值定理 存在t f(b)-f(a)=f'(t)(a-b) 从而 |f(b)-f(a)|=|a-b|*1/(1+t^2) ≤|a-b| 得证

臧览鱼2629证明不等式成立:/arc tana - arctanb/ -
冶澜晴18399125074 ______[答案] 大学解法拉格朗日中值定理令f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x²),于是0b则存在b<ε

臧览鱼2629arctanA+arctan1/B=arctan3 -
冶澜晴18399125074 ______[答案] arctanA+arctan1/B=arctan3 tan(arctanA+arctan1/B)=tan(arctan3)=3 (A+1/B)/(1-A/B)=3 B!=0 (AB+1)/(B-A)=3 AB+3A-3B+1=0

臧览鱼2629证明不等式:|arctanA - arctanB|≤|A - B| -
冶澜晴18399125074 ______[答案] 只要证:|arctanb-arctana|/|b-a|≤1 取f(x)=arctanx,则存在ε属于[a,b]使 f'(ε)=(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ε^2) 显然|f'(ε)|≤1 故原式成立

臧览鱼2629证明arctana - arctanb的绝对值小于等于a - b的绝对值 -
冶澜晴18399125074 ______[答案] 证明:设f(x)=arctanx,x∈R 则f'(x)=1/(1+x^2) 原题即证 :|arctana-arctanb|≤|a-b| (1)若a=b,命题显然真. (2)若a≠b,不妨设a

臧览鱼2629为什么arctan(tanA)=A -
冶澜晴18399125074 ______ arctan(tanA)=A--------------------不准确 少了定义域 A属于(-π/2,π/2) 函数y=tanx,(x不等于kπ+π/2,k∈Z)的反函数,记作y=arctanx,叫做反正切函数.其值域为(-π/2,π/2). tan(arctana)=a arctan(-x)=-arctanx

臧览鱼2629证明|arctana - arctanb| -
冶澜晴18399125074 ______[答案] 记f(x)=arctanx, f'(x)=1/(x^2+1) 由拉格朗日中值定理 存在t f(b)-f(a)=f'(t)(a-b) 从而 |f(b)-f(a)|=|a-b|*1/(1+t^2) ≤|a-b| 得证