全微分的例题

作者：是你们的兮兮吖

购买理由

这学期的微分几何课程恰好前段时间结课，这门课程到结课为止恰好上了一个半月，由谢振肖老师讲授，每周三次课。采用的教材是彭家贵和陈卿老师编著的《微分几何》第2版（但是并未严格遵从书上的顺序，也适当跳过了部分内容），课外参考书是陈维桓老师编著的《微分几何》及其例题详解和习题汇编（如下）。

使用感受 

《微分几何》在许多学校号称是数计院本科四年最令人闻风丧胆和高端的课程。有幸任课老师专研这个方向，而且上课条理和逻辑非常清晰，使得这门艰深的课有了一个好的入口。不过话虽如此，像我这样扪心自问没有全副精力在学术上的人来说，大部分课上的时间即使战战兢兢，也还是像听天书一样：看着老师一稿不看地在四大张黑板上依次写满密密麻麻的推导和命题，虽然心神敬畏和感叹数学的高妙，但真是难以跟得上他的节奏。加上课下功夫没有做的扎实，期中期末来临前半个月就会开始忧虑了，于是咬牙开始自学。

第一遍看书和课上的笔记就像第一次看GRE阅读一样，极尽催眠和充斥着难以理解的语法和名词，因而无论是在哪里（图书馆或是宿舍）都非常想睡觉！这个时候一定要努力坚持下去，试着在书中找出一些比较不那么抽象的例题和插图配合去理解大概是要讲什么和做什么。（当然，一开始不理解也ok，最重要的是坚持）

其次，看书不能像看小说一样平铺直叙，要提纲挈领地看。有两个方法可以帮助实现：一是注意理解笔记中老师在课上用大量篇幅讲到和证明的部分及这些部分在每节之间起到的作用（意思就是说，一些相对孤立的章节可能在理解本书重点上没有那么重要，比如1.7节的一些性质）；二是着眼书中有提到的，绝妙、简介和本质的性质，比如Gauss定理，第一、二基本型还有测地线一类的，从这些重点发散开来理解全篇。

再者，对书中展开书写和证明的方法要注意体会细节和加以思考，这样才能更深刻地理解微分几何的研究方法和结构。比如对于曲面的研究，往往都是取其中一小段曲线开始讨论，因而第一章会以曲线为全书的基础展开；再比如，用反函数存在性定理时，常用到函数在某个区域上的限制来做，我想这样比较方便清楚地说明问题。

总结

学了短短一学期，虽然只学到皮毛，但我还是能够浅浅地体会到微分几何的深远，特别是在现实应用和高深的物理研究上。我不是一个学术强人，但就像今天结课前教授在课上讲的，科班出生可能会限制思考。没有做到学的很好，但对于我个人而言，微分几何让我学到了很多。

也希望能帮助到大家~

梅闵泪2820一道全积分的题目求z=e^(y/x)的全微分dz等于什么. -
薛凝凝13614632129 ______[答案] 全微分公式 dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy 求偏导时发现是复合函数求导 =[e^(y/x)*偏(y/x)/偏x]dx+[e^(y/x)*偏(y/x)/偏y]dy =[e^(y/x)*(-y/x^2)]dx+[e^(y/x)*(1/x)]dy

梅闵泪2820\函数的全微分 u = x / (x^2 + y^2)在(0,0)处的全微分 -
薛凝凝13614632129 ______[答案] 函数在(0,0)处没定义,因此在此点也就不存在全微分.

梅闵泪2820关于一道全微分的题求函数z=x^2*y^3在点(2, - 1)处,当△x=0.02,△y= - 0.01时的全增量以及全微分的值.答案写的分别是 - 0.20404, - 0.20但是我全增量算出来不... -
薛凝凝13614632129 ______[答案] 二元函数z=f(x,y)在P(x,y)点的增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 称为全增量若Δz能表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),其中,A、B,是与Δx和Δy无关的常数,o(ρ)表示当ρ→0时比ρ高阶的无穷小量,即o(ρ)趋于0的速度...

梅闵泪2820哪位高数高手来解答这道全微分题: -
薛凝凝13614632129 ______ 设函数f(x,y)=x^y 所求的值就是函数在x=1.02,y=2.02时的 函数值 f(1.02,2.02) 取x=1,y=2 Δx=0.02,Δy=0.02 由于 f(1,2)=1 对x的偏导数 fx(x,y)=y*[x^(y-1)] fx(1,2)=2 对y的偏导数 fy(x,y)=(x^y)*ln x fy(1,2)=0 有公式f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy 便得到 (1.02)^2.02≈1+2*0.02+0*0.02=1.04

梅闵泪2820求求全微分题详细答案 -
薛凝凝13614632129 ______ 首先求偏导数:∂z/∂x=(-y/x²)+y ∂z/∂y=(1/x)+x 代入x=2,y=1,得到对应的偏导数值:∂z/∂x=0.75 ∂z/∂y=2.5 所以对应全微分为:dz=0.75dx+2.5dy 代入dx=Δx=-0.2,dy=Δy=0.1,得到:dz=0.75*(-0.2)+2.5*0.1=0.1 实际的增量:z(2,1)=(3/2)+2=3.5 z(2-0.2,1+0.1)=z(1.8,1.1)=(2.9/1.8)+1.8*1.1=3.591 Δz=3.591-3.5=0.091

梅闵泪2820求函数的全微分:z=xcos(x - y) -
薛凝凝13614632129 ______ 方法一(微分法):dz=cos(x-y)dx+xd(cos(x-y))=cos(x-y)dx-xsin(x-y)d(x-y)=cos(x-y)dx-xsin(x-y)dx+xsin(x-y)dy=[cos(x-y)-xsin(x-y)]dx+xsin(x-y)dy 方法二(求导法):z'(x)=cos(x-y)-x*sin(x-y) z'(y)=x*(-sin(x-y)*(-1))=xsin(x-y) ∴dz=[cos(x-y)-xsin(x-y)]dx+xsin(x-y)dy

梅闵泪2820高等数学 全微分的两道题求解!要有详细解题过程哦!!! -
薛凝凝13614632129 ______ 1.f(x,y)=ln(x+x/y) fx=(1+1/y)/(x+x/y) = 1/x; fy=(-x/y^2)/(x+x/y) = -1/(y^2+y) fx(1,1) =1,fy(1,1)=-1/2 f(x,y)在P0(1,1)处的偏导数连续 f(x,y)在P0(1,1)处可微(可微的充分条件) 全微分:fx*△x+fy*△y = △x-(1/2)△y. 2.u=e^(xy) ux=[e^(xy)]' *(xy)' = y*e^(xy) uxy=(...

梅闵泪2820高等数学下册,全微分的两道题.求高人指点.写出详细过程! -
薛凝凝13614632129 ______ 1.z=x^(2y) Əz/Əx = 2y*x^(2y-1) Əz/Əy = 2*x^(2y)*lnx dz = Əz/Əx dx + Əz/Əy dy = [y*x^(2y-1)]dx + [2*x^(2y)*lnx]dy 2. 1)z=|∆x∆y|^(1/2) x→0,y→0, limf(x,y) = f(0,0) = 0,故z在(0,0)处连续 余问参见图片

梅闵泪2820关于一道全微分的题 -
薛凝凝13614632129 ______ 二元函数z=f(x,y)在P(x,y)点的增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 称为全增量 若Δz能表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),其中,A、B,是与Δx和Δy无关的常数,o(ρ)表示当ρ→0时比ρ高阶的无穷小量, 即o(ρ)趋于0的速度比ρ趋于0的速度要快,AΔx+BΔy成为函数增量的...

梅闵泪2820一道求全微分的题目 -
薛凝凝13614632129 ______ 偏导数用a表示了哈 az/ax=e^(y(x^2+y^2))*(2yx)=2xye^(y(x^2+y^2)) az/ay=e^(y(x^2+y^2))*(x^2+3y^2)=(x^2+3y^2)e^(y(x^2+y^2)) 所以dz=2xye^(y(x^2+y^2))dx+(x^2+3y^2)e^(y(x^2+y^2))dy