标准正交基公式推导
卜齿亮4243设ε1,ε2,∧,εn是线性空间V的一组标准正交基,A是V上的线性变换,满足(Aα,Aβ)=(α,β),证明:Aε1,Aε2,L,Aε3是一组标准正交基. -
仲姚印18989154973 ______[答案] 证:ε1,ε2,…… ,εn是线性空间V的一组标准正交基, 则:(εi,εj)=δij (δij =0 i≠j δij =1 i=j) 于是,(Aεi,Aεj)=(εi,εj)=δij 故:Aε1,Aε2,…… ,Aεn是一组标准正交基
卜齿亮4243证明:如果η1,η2.....ηn是R^n的一组标准正交基,A为n阶正交矩阵,则Aη1,Aη2……Aηn也是一组标准正交基 -
仲姚印18989154973 ______ 由于η1,η2.....ηn是R^n的一组标准正交基,所以(ηi,ηj)=0(i≠j),(ηk,ηk)=1(k=1,……n).并且由于正交矩阵的性质,(Aηi,Aηj)=(ηi,ηj)=0(i≠j),(Aηk,Aηk)=(ηk,ηk)=1(k=1,……n).所以Aη1,Aη2……Aηn也是一组标准正交基.
卜齿亮4243证明a1,a2,...an和b1,b2,...bn是V的两组标准正交基的充要条件是他们的过渡矩阵是正交矩阵 -
仲姚印18989154973 ______[答案] 一方面,若aibj=0(i/=j);1(i=j) 则为标准正交基,则其过渡矩阵为正交矩阵 另一方面,过渡矩阵为正交矩阵,如果不是标准正交基,那么必然可以表示出来啊 再证明,k1a1+k2a2+……+knan=0前面系数k1,k2...kn都为0才行,就好了~
卜齿亮4243已知α1=(1,1,1)T,求R3的一个标准正交基 -
仲姚印18989154973 ______ 题目本身没有说清楚, 求出的正交基和α1有什么关系. 而且既然α1是列向量, 答案确实应该都有转置. 硬要将题目补充完整的话, 可以是: 求R³的一组标准正交基, 使之包含α1的单位化向量. 不过不难理解, 即便如此答案也是不唯一的. 解法也比较多, 大体上都是先将α1扩充为R³的一组正交基, 再单位化. 比如先解方程0 = (1,1,1)'·(x,y,z)' = x+y+z找到一个与α1正交的非零向量. 再解类似的方程组找到与二者都正交的第3个非零向量(也可以用R³中的外积来算). 另一种办法是先将α1扩充为R³的一组基, 再用Schmidt正交化. 总之除了题目不完整令人费解外, 问题本身是很简单的.
卜齿亮4243证明 设A是n阶正交矩阵,那么A的行向量组是Rn的一个标准正交基. -
仲姚印18989154973 ______[答案] 请点击看大图 A是正交矩阵 <=> A^T 也是正交矩阵 <=> A^T的列向量组是标准正交基 <=> A的行向量组是标准正交基
卜齿亮4243证明a1= (2ε1+2ε2–ε3) , a2= (2ε1 - ε2+2ε3), a3= (ε1 - 2ε2 - 2ε3) 是一组标准正交基. 怎么做?
仲姚印18989154973 ______ 因为ε1,ε2,ε3是三维欧氏空间中一组标准正交基 所以 ε1,ε2,ε3两两相乘为0 且模相等 a1xa2=a3xa2= a1xa3=0 且 a1的模=a2的模=a3的模=3倍ε1的模
卜齿亮4243高等代数中R'n标准内基是什么? -
仲姚印18989154973 ______ 就是n个两两正交的单位向量构成的一组基.如 e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…,en=(0,0,…,1).
卜齿亮4243对R3中任意向量a=(x1,x2,x3)T,b=(y1,y2,y3)T,定义(a,b)=x1y1+2x2y2+3x3y3,求R3上的一组标准正交基 -
仲姚印18989154973 ______[答案] 将3维基本向量组a1=(1,0,0)^T,a2=(0,1,0)^T,a3=(0,0,1)^T正交单位化 易知a1,a2,a3两两正交 单位化: b1=a1/||a1|| = (1,0,0)^T b2=a2/||a2|| = (1/√2)(0,1,0)^T b3=a3/||a3|| = (1/√3)(0,0,1)^T 则b1,b2,b3是R^3的标准正交基
卜齿亮4243什么是向量的正交化,怎么正交化的呢? -
仲姚印18989154973 ______ 代数中的一种计算公式:一组向量,向量的模都是1,并且两个向量的乘积为0.这样的一个过程成为标准正交化.常用的方法是施密特标准正交化.保证选的一组基是正交的(有时也可看...
卜齿亮4243方向余弦计算公式
仲姚印18989154973 ______ 方向余弦计算公式:方向余弦=(x,y,z)/√(x²+y²+z²),方向余弦是指在解析几何里,一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦.两个向量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦.“方向余弦矩阵”是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵.方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系,也可以用来表达一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦.方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦.