不可约多项式与任一多项式的关系

卞咐郊2370假设p(x)为F[x]中一个次数>=1的多项式,如果对于F[x]中任意多项式f(x)都有p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.证明:p(x)是数域F上的不可约多项式. -
鄂饲绍15126673518 ______[答案] 设q(x)∈F[x]是p(x)的因式. 由条件,要么成立(p(x),q(x)) = 1,要么成立p(x) | q(x). 若(p(x),q(x)) = 1,由q(x)是p(x... 若p(x) | q(x),由q(x) | p(x),二者相差非零常数倍(相伴). 因此p(x)在F[x]中只有平凡因式(相伴于1或p(x)本身),即p(x)不可约.

卞咐郊2370对任意的n,多项式x^n+2在有理数域上是不可约的. - 上学吧普法考试
鄂饲绍15126673518 ______ 多项式的除法中,定义余式是比除式次数低的式子.所以只要不出现余式那就是整除. (3x²+1)÷2,因为除式次数为0,所以不能整除意味着余式最高不超过-1次,显然这是不可能的事情.

卞咐郊2370复数域上存在任意次数的多元不可约多项式么 -
鄂饲绍15126673518 ______[答案] 对于单元多项式: 复数域上任何多项式都是可约的. 实数域上只有2次不可约多项式. 有理数域上存在任意次不可约多项式. 对于多元多项式: 在复数域(或实数域,或有理数域)都存在任意次数的任意元的不可约多项式. 比如对于二元多项式,...

卞咐郊2370在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的 - 上学吧普法考试
鄂饲绍15126673518 ______[答案] 记(fg,f+g)=d=P1*P2*...P1,P2...为不可约多项式,明显有Pi|(f+g) 则对任一Pi,要么Pi|f,要么Pi|g 不妨令P1|f,又由P1|(f+g)知P1|g 已知f(x)与g(x)互素,=所以P1=1 同理,任一Pi=1 所以(fg,f+g)=1 即f(x)*g(x)与f(x)+g(x)互素 \ 用uf+vg=1也可以做,不...