三重积分球坐标变换

熊施钢2065三重积分里的柱坐标变换和球坐标变换必须按照书上累次积分的顺序吗?我做了1道题,发现柱坐标变换时,先积r后积z和先积z后积r求出来答案不一样,上下... -
钱顾褚18943369604 ______[答案] 一般情况下先积z,后积r,有时可以最后积z 先积的变量变化范围是在函数之间,最后积的变量是在常数之间 先积z: ∫∫∫ 1 dxdydz =∫∫(D) r drdθ∫[r²→1] 1 dz 二重积分区域D:x²+y²≤1 =∫[0→2π]dθ∫[0→1] r(1-r²) dr =2π[(1/2)r²-(1/4)r^4] |[0→1] =(1/2)π ...

熊施钢2065积分区域为球:x2+y2+z2<=1,求根号下x2+y2+z2的三重积分的值 -
钱顾褚18943369604 ______ 这怎么会是难题呢?做球面坐标变换,则积分区域 V:0≤r≤1,0≤θ≤2π,0≤φ≤π, 这样 ∫∫∫(V)(x²+y²+z²)dxdydz = ∫∫∫(V)r²rsinφdrdθdφ = ∫[0,1]r³dr*∫[0,2π]dθ*∫[0,π]sinφdφ = ……

熊施钢2065请问三重积分中利用球坐标变换求解时,遇到该问题时该如何设x,y,z以及如何确定θ,ψ,r的范围? -
钱顾褚18943369604 ______ 图片上给出的积分区域是面不是体.

熊施钢2065用球坐标计算三重积分I=∫∫∫z^2dv 其中图形是由x^2+y^2+z^2<=R^2和x^2+y^2=z^2<=2Rz的公共部分 求解题步 -
钱顾褚18943369604 ______ 解:∵方程组x²+y²+z²=R²与x²+y²+z²=2Rz的解是x²+y²=(√3R/2)² ∴两球体公共部分在xoy平面上的投影是S:x²+y²=(√3R/2)² 故 原式=∫∫<S>dxdy∫<R-√(R²-x²-y²),√(R²-x²-y²)>z²dz =(1/3)∫∫<S>{[√(R²-x²-y²)]³-[R-√(...

熊施钢2065如图,这个三重积分从直角坐标系转换成球坐标系的时候,上下限怎么变. -
钱顾褚18943369604 ______ 10. 积分域 Ω 顶部是球面 x^2+y^2+z^2 = 2, 下部是锥面 z^2 = x^2+y^2 交线在 xoy 平面上的投影是第 1 象限单位圆. I = ∫<0, π/4>dφ∫<0, π/2>dθ∫<0, √2> r r^2sinφ dr = ∫<0, π/4>sinφdφ∫<0, π/2>dθ∫<0, √2> r^3dr = [-cosφ]<0, π/4> (π/2) [r^4/4]<0, √2> = (π/2)(1-1/√2)

熊施钢2065以原点为球心,a为半径的球,在求三重积分时,dθ为0 - 2π(角度),dr为0 - a(半径),那dz代表什么呢? -
钱顾褚18943369604 ______ 是柱坐标变换吧 dz是上半球面到下半球面,即根号(a2-x2-y2)到负根号(a2-x2-y2)

熊施钢2065求三重积分∫∫∫(x+y+z)dxdydz 积分域x^2+y^2+z^2<=R^2,x,y,z>=0 -
钱顾褚18943369604 ______ 球坐标变换:x=rsinacosb,y=rsinasinb,z=rcosa,0原积分 =积分(从0到pi/2)da 积分(从0到pi/2)db 积分(从0到R)r*r^2sina(sinacosb+sinasinb+cosa)dr =R^4/4*积分(从0到pi/2)(sin^2a+sin^2a+sina*cosa*pi/2)da =R^4/4*3pi/4=3pi*R^4/16.

熊施钢2065∫∫∫Ω√x^2+y^2+z^2dv,Ω是由球面x^2+y^2+z^2=z所围成的区域?用球面坐标变换求上述三重积分. -
钱顾褚18943369604 ______ x² + y² + z² = z <--> x² + y² + (z - 1/2)² = (1/2)⁵ --> r = cosφ ∫∫∫ √(x² + y² + z²) dxdydz = ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/2) sinφ dφ ∫(0→cosφ) r³ dr = 2π • ∫(0→π/2) sinφ • (1/4)[ r⁴ ] |(0→cosφ) = (π/2) • ∫(0→π/2) sinφ(cos⁴φ) dφ = (- π/2)(1/5) • [ cos⁵φ ] |(0→π/2) = (- π/10) • (0 - 1) = π/10

熊施钢2065用三重积分求球X*X+Y*Y+(Z - A)*(Z - A)=A*A的体积 -
钱顾褚18943369604 ______ 作变量替换x=psinφcosθ y=psinφsinθ z=A+pcosφ 变换的雅克比行列式为p*psinφ 三重积分计算 p从0--A φ从0--π θ从0--2π 就可以了,即平移的球坐标变换法,答案自不必说了~

熊施钢2065三重积分x^3+y^3+z^3 dv用球坐标怎么算不要在意积分区域是啥,反正是个球.不过我不清楚x^3+y^3+z^3转换成球坐标后应该是什么.答案写的是p^3*(cosψ)^3, -
钱顾褚18943369604 ______[答案] 肯定要管积分区域的,如果是x^2+y^2+z^2=a^2这种对称的球体, 那么对x,y,z的奇函数的积分都是0 所以∫∫∫x^3dV=∫∫∫y^3dV=∫∫∫z^3dV=0 原积分=0 不对称的要用到变量代换来做. 不能直接上极坐标的,这样运算量太大