三重积分计算题及答案

注：原文来自@YeruiZhang发布长推。

记得最早在12月份Renzo上线的那几天写了关于Eigenlayer Point的第一条帖子，没想到一个半月不到过去Eigenlayer的“生态”项目就百花齐放了，Renzo从那时3M成长到170M的TVL，有币安支持的Puffer 3天狂砍10万颗ETH，有号称Fair launch的Eigenpie做到160MTVL。但现在继续去卷Point真的是件好事吗？

1、首先需要明确的一点是LRT的本质是作为收益中间层帮用户更好的选择AVS，本身的代币价值和绝大多数DEFI项目一样，或许有点治理，或许啥都没有。看起来美好的三重收益，其实本质是上线空投。但问题在于空投的价值真的会很高吗？

2、对于Eigen的空投我觉得是个很简单的计算题，现在的TVL是2.1B，假设代币上线时间是6月往后（目前看起来需要EigenDA和AVS有个基本框架才能上线），上线的initial FDV在8B，空投个人猜测是3%左右（融资已经融了20%，可能还有10%左右要融资，团队15%，预留给生态50%，剩下3%空投+2%做市商很合理）也就是240M，这大概是10%的收益。可能有人会预期Eigenlayer非常大幅度的激励上线前的TVL，但我理解这套模型中收益率是AVS给的，Eigen更多需要去激励AVS，这就和ARB项目方会通过让生态分发给终端用户的激励是一个道理。说回来如果总共10%的收益现在锁定期才过了一半，并且随着STETH上限的打开还有至少2-4B的ETH会存进去（TVL翻倍或者是三倍），也就是现在存最乐观就是5%左右的收益，搞不好可能只剩下1.7%左右的收益，那可真是只剩了猪脚饭了。

3、对于生态项目的估值呢不那么好按计算器但大体上也有个框架，假设单一生态在400M的TVL发币，如果能上顶级大所的情况下FDV能到100M/1B以上，开盘甚至能到1.5B FDV，按照100M的市值算如果其中一半（总得给交易所留点运营活动/做市商留点份额）是空投给用户的，那就50M的空投量（非常乐观的估计），就意味着12.5%左右的收益，时间周期大概在3个月左右（还不能算项目方给“早期”用户的额外奖励分数），看起来很美好，但是一方面ETH是有敞口的，在“即将”上线交易所的时候如果ETH下跌该怎么办？另一方面如果交易所一直不上积分不断贬值该怎么办？

4、正如一开始所说LRT本质上是作为收益中间层，赚的应该是通过帮助用户选择AVS的Alpha，这一块在AVS有一定数量之后能够提供的收益应该是很可观的，但对应的风险也很大（AVS是可以跑路的）。这是个精细活，需要项目团队对AVS有足够的理解，核心是规避风险（Eigen的Slash目前最多会是50%本金）。就像DEFI SEZ中出现了很多流星一样（短时间TVL很高热度很高，但是长期来看就...)，LRT项目方真正的战斗应该是AVS上线之后怎么帮用户获取更多的收益。

总的来说，现在卷Point的上限就是3个月左右能够获得不超过12.5%的收益，在4-5个月的时候还能有额外不超过5%的收益入账（年化在60%左右，远不如Manta空投）。这还是建立在选对项目/一直持有对应的ETH/不被各种方式稀释积分的前提下，条件过于严苛，行情不错的情况下这种级别的收益或许也没那么吸引人吧～

扶卢苑870计算三重积分 ∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz 其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域. -
盛肥昌17859195246 ______[答案] 选用柱坐标系:0≤ θ≤ 2Pi ,0≤ r ≤ 2,r^2 /2 ≤ z ≤ 2 原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr = 2 Pi * (r^4 /2 - r^6/12) | r=2 = 16 Pi /3

扶卢苑870计算I=3重积分x^2+y^2 曲面为x^2+y^2=2z 及z=2 z=8所围成计算I=3重积分x^2+y^2 曲面为x^2+y^2=2z 及z=2 z=8所围成 答案写用柱坐标r范围为 0到√2z 不明白... -
盛肥昌17859195246 ______[答案] 你那种积分方式不适合这种圆台形结构. 因为r从2到4的话,z从2到8,θ从0到2π,他可以描绘任何的在xoy面上投影为半径为2到4的圆环,在z上从2到8的曲面∑.不足以充分描绘这种圆台. 这时候,可以变化积分次序,先对r积分,因为极坐标中, r^2=x^...

扶卢苑870计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz,其中Ω为三个坐标面及平面2/x+y+Z=1所围成的区域 -
盛肥昌17859195246 ______[答案] Ω为三个坐标面及平面x/2+y+Z=1所围成的区域, 原式=∫zdz∫dy∫dx =∫zdz∫2(1-y-z)dy =∫z[2(1-z)^-(1-z)^]dz =∫(z-2z^+z^3)dz =[(1/2)z^-(2/3)z^3+(1/4)z^4]| =1/2-2/3+1/4 =1/12.

扶卢苑870计算三重积分∫∫∫xdxdydz,其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域原式=∫xdx∫dy∫dz=∫xdx∫(1 - x - 2y)dy=∫x[(1 - x)²/4]dx=1/4∫(x - 2x²+x³)dx=(1/2 - 2/3... -
盛肥昌17859195246 ______[答案] 可能是过程不够详细而已.

扶卢苑870数学分析三重积分计算三重积分∫∫∫x+y+1/z,其中v由x平方+y平方+z平方小于等于2与x平方+y平方小于等于1与z大于1围成 -
盛肥昌17859195246 ______[答案] 由积分区域的对称性化简(详细见全书,上面有归纳),先面积分后对z积分,因为被积函数无xy,由圆面积公式得:∫∫∫1/z dV=∫∫∫1/z(PI(2-z^2)dz=PI(ln2-1/2)

扶卢苑870计算三重积分I=∭Ω(x2+y2)dv,其中Ω为旋转抛物面z=x2+y2与平面z=1所围成的区域. -
盛肥昌17859195246 ______[答案] 由于Ω={(x,y,z)|x2+y2≤1,x2+y2≤z≤1}={(ρ,θ,z)|0≤θ≤2π,0≤ρ≤1,ρ2≤z≤1},因此 I= ∭ Ω(x2+y2)dv= ∫2π0dθ ∫10ρdρ ∫1ρ2ρ2dz =2π ∫10ρ3(1-ρ2)dρ=2π ∫10(ρ3-ρ5)dρ= π 6.

扶卢苑870一道比较基础的三重积分题,答案是6/π的平方,求过程. -
盛肥昌17859195246 ______ 分离长三个积分做即可1=A【arctanx】【(1/2)arctan(y/2)】【(1/3)arctanz】=Aπ(π/2)(π/3)=Aπ³/6 所以A=6/π³

扶卢苑870请教一个三重积分计算题 -
盛肥昌17859195246 ______ 1、(1+X)的平方=1+44% 分析:解设平均每年绿地面积的增长率是x (经过两年时间)(绿地面积增加44%,)要抓住题目的关键字 所以:每年增长率:(1+x)两年:(1+x)(1+x)=(原本)1+(增加)44% 所以等到如上的方程 2、设:上周购买...

扶卢苑870计算三重积分∫ ∫ ∫ (x^2+y^2)dxdydz,其中D是由yoz平面上的曲线y^2=2z绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域. -
盛肥昌17859195246 ______[答案] 曲线y^2=2z绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域 在xoy面的投影是一个半径为根号下10的圆,所以想到化到xoy面做 ∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz =∫dz∫∫(x^2+y^2)dxdydz =∫∫y^2/2(x^2+y^2)dxdydz 再用极坐标. 不好打啊. 用极坐标后就很好做了,加油...

扶卢苑870计算三重积分I=∫∫∫(D)zdxdydz,其中D是上半球体x^2+y^2+z^2=o -
盛肥昌17859195246 ______[答案] 截面法做截面Dz:x²+y²≤1-z²∫∫∫(D) zdxdydz=∫[0→1] zdz ∫∫ dxdy 其中二重积分的积分区域是Dz,Dz面积为:π(1-z²)=π∫[0→1] z(1-z²)dz=π∫[0→1] (z-z³)dz=π[(1/2)z²...