交错级数都是收敛吗
萧箫 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI陶哲轩又发新论文了！
这也是时隔一年，他再次独立发表新论文。（arXiv显示上一篇独作论文发表时间是在去年2月）
这篇新论文依旧与陶哲轩钻研的数论领域有关。
它证明了著名数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）提出的一个交错素数级数猜想，在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下，是成立的。
（当然，哈代-李特尔伍德素数k元组猜想也是一个悬而未解的猜想，因此这项研究只是部分证明，并没有完全解决）
这项研究，还用到了他在几年前与合作者共同提出的一个素数随机模型。
一起来看看。
证明了什么样的猜想？
核心来说，这篇新论文要证明的，是埃尔德什提出的一个关于交错素数级数收敛性的猜想。
这个猜想与一个长这样的交错级数有关，其中pn是第n个素数：
交错级数，指的是项的符号是正负交替、而数值绝对值单调递减的无限级数。它的一般形式，大伙儿在学高数时应该都见过：
但交错级数并不一定收敛，因此需要具体级数具体判断，这次陶哲轩证明的就是交错级数中的一个特殊类型，即an是素数pn的倒数，这个级数是收敛的。
不过，还有个前提条件——在哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的条件下。
哈代-李特尔伍德素数k元组猜想，由英国科学家哈代和李特尔伍德提出，它预测了给定差值集合的k个素数出现的频率。
猜想认为，存在两个绝对常数ε>0和C>0，对于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整数h1,…,hk组成的k元组：
使得这个式子成立：
不过，这个猜想至今尚未解决。
这次陶哲轩直接在假设它成立的基础上，证明了交错素数级数收敛性猜想的成立。整个过程大约可以分为四步：
首先，基于Van der Corput差分定理来降低素数计数间隔的长度。
由于证明这个猜想，实际上需要估计区间[1,x]内素数个数的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能将它转化为仅考虑较短区间内素数个数奇偶性的问题。
转化为这个问题之后，实际上就能用哈代-李特尔伍德素数k元组猜想来证明问题成立。
因此，接下来论文在假设哈代-李特尔伍德素数k元组猜想成立的基础上，估计了短区间内k个素数的概率。
然后，陶哲轩使用几年前与两位数学家William Banks和Kevin Ford共同建立的随机素数模型，来建模素数分布。
最后基于这个模型建立的分布证明猜想。
这篇博客发出后不久，就有网友赶来点赞，表示自己也在从用另一种方法尝试解决这个猜想：
点赞！
我3周前刚在Thomas Bloom的网页上发现了这个猜想，不过只有这篇论文第一句话的内容。
我从计算（computational）的角度尝试搞定它。我把它看作是观察每个结果的偶数和奇数索引之间的差异，然后尝试进行曲线拟合，以确定差异可能为零的位置。
虽然不知道我的数据是否对解决这个问题有帮助，不过至少这提高了我的编程技能。
我还需要一些时间来消化你的论文，感谢！
One More Thing
值得一提的是，2004年陶哲轩和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）另一个更著名的等差数列猜想而来。
其中，埃尔德什等差数列猜想如下：
格林-陶定理进一步将猜想范围缩小到他们研究的素数范围内，相当于埃尔德什等差数列猜想的一个“特例”：
埃尔德什为解决这个等差数列猜想悬赏了5000美元。
这些年除了陶哲轩以外，也有不少数学家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他们在2020年，证明了整数无穷数列一定包含长度至少为三的等差数列，将这个问题又向前推进了一步。
感兴趣的小伙伴们可以挑战一下了（手动狗头）
新论文地址：
https://arxiv.org/abs/2308.07205参考链接：
[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117— 完 —
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司哲具2469怎样判断级数收敛还是发散
史敬司13474614420 ______ 判断级数是收敛是发散,可以利用交错级数的莱布尼茨判别法,对于交错级数∑(-1)^n Un,若{Un}单调下降趋于0,则级数收敛,否则为级数发散.令Un=ln n/(n^p):(1)当p≤0时,可知|(-1)^n Un|不趋于0,所以级数发散.(2)当p>0时,令F(x)=lnx/(x^p),由F'(x)=x^(p-1)[1-plnx]/(x^p)²可知,只要x充分大,则F'(x)0时,Un从某项开始起单调下降,又lim【n→∞】lnx/(x^p)=0,所以通项Un满足单调下降趋于0,因此当p>0时,级数收敛.
司哲具2469交错级数具有什么性质呢?
史敬司13474614420 ______ 交错级数具有一个简单的性质:如果为一个单调递减数列,并且以0为极限,那么通过改变这个数列相邻两项的符号而构造的两个交错级数都收敛
司哲具2469如何判别级数收敛,什么是交错级数规律
史敬司13474614420 ______ 如果级数的项,正负交错,那么这级数称为交错级数.交错级数收敛法则:若交错级数的项极限为零,则交错级数收敛.Σ(-1)ⁿ/(2n-1)是交错级数,n→+∞,lim[(-1)²/(2n-1)]=0.∴级数收敛.
司哲具2469交错级数收敛是不是一定是相对收敛? -
史敬司13474614420 ______ 在级数里,没有“相对收敛”这个词,只有“绝对收敛”. 定理是:绝对收敛的交错级数一定收敛. 反之,就不一定成立了!
司哲具2469如何分辨级数是否收敛? -
史敬司13474614420 ______ 1.先看级数通项是不是趋于0.如果不是,直接写“发散”,OK得分,做下一题;如果是,转到2.2.看是什么级数,交错级数转到3;正项级数转到4.3.交错级数用莱布尼兹审敛法,通项递减趋于零就是收敛.4.正项级数用比值审敛法,比较审敛法等,一般能搞定.搞不定转5.5.看看这个级数是不是哪个积分定义式,或许能写成积分的形式来判断,如果积分出来是有限值就收敛,反之发散.如果还搞不定转6.6.在卷子上写“通项是趋于0的,因此可以进一步讨论”.写上这句话,多少有点分.回去烧香保佑及格,OVER!
司哲具2469这道题收敛还是发散 -
史敬司13474614420 ______ 都是收敛. 收敛的定义是一个数列随着n增加而不断趋于某一个常数. 发散的定义是一个数列随着n增加而不断趋于正无穷或者负无穷. 除了收敛和发散外,还有一种情况叫振荡,即随着n增加数列在两个常数之间循环变化. 如果理解为-1除以4倍的n的商再加上1,这两个数列的极限都是1.如果理解为-1除以(4倍的n加上1的和)的商,这两个数列的极限都是0,即趋于某个特定的常数.所以它们都是收敛的.
司哲具24691、是否只有交错级数才有绝对收敛和条件收敛?2、是否有这样的结论:对于级数∑Un,当limUn ≠ 0,则级数不收敛. -
史敬司13474614420 ______[答案] 1、错 原级数的绝对值级数收敛就叫绝对收敛,若绝对值级数发散,原级数收敛,就叫做条件收敛 2、对了 Un发散或者limUn =C(非零常数),可以推出原级数发散 不能反推
司哲具2469高数题 证明一题(交错级数)是条件收敛还是绝对收敛判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【( - 1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】的敛散性,若收敛,请指出是条... -
史敬司13474614420 ______[答案] 原级数是交错级数,由莱布尼茨判别法,原级数收敛. |【(-1)^n 】*【ln(n^2+1)/n^2】|=ln(1+1/n'2)而n趋近无穷时 ln(1+1/n'2)/(1/n'2)=lne=1 所以ln(1+1/n'2)与1/n'2收敛性相同,显然后者收敛,所以ln(1+1/n'2)收敛,所以是绝对收敛
司哲具2469收敛的函数是否绝对收敛?一个交错级数,已经判断出它是收敛的,那么
史敬司13474614420 ______ 结论不定.通项取绝对值后得到一个正项级数,按正项级数的判别法,收敛即得交错级数绝对收敛,发散则原交错级数条件收敛.
司哲具2469有关任意项级数证明是否收敛的一些疑惑根据莱布尼兹定理的定义 只要满足第n项比第n+1项大 也就是说这个交错级数是单调递减的并且当n趋于无穷时 通项... -
史敬司13474614420 ______[答案] 交错级数也可能是绝对收敛的,比如 ∑[(-1)^n]/n²,当然要加绝对值来判别其绝对收敛;同时有的交错级数不是绝对收敛的,如 ∑[(-1)^n]/n,加绝对值后判别它是发散的 ,只能用莱布尼茨判别法来判别它是收敛的.