最小多项式与若尔当标准型

费凌周5175线性代数问题,矩阵A的化零多项式在有理数域上不可约,则A在复数域上可对角化 -
徒审刘14772443332 ______ 是啊!矩阵A的化零多项式在有理数域上不可约,它与它的导数互素,说明它只有单根.故可对角化

费凌周5175矩阵,多项式的关系 -
徒审刘14772443332 ______ 很简单. 因为取f(x)=x^2-x 有f(A)=0 要么f(x)是最小多项式,那么他没有重根. 要么是1次的,x-a(最小多项式首项系数为1) 那么A-aE=0,带入计算易得a=0或1,故能整除. (其实只要f(A)=0,那么最小多项式就可以整除f(x),你可以用带余除法,很容易证明到,如果不是余的次更低) 1次多项式显然无重根

费凌周5175是不是所有的矩阵都可化为标准型,矩阵不一定是可逆的?? -
徒审刘14772443332 ______ 是所有的矩阵都可化为标准型,这里的标准型是指的矩阵的等价标准型. 设矩阵A的秩为R(A)=r,则A一定可化为等价标准型 Er O O O

费凌周5175特征多项式与最小多项式相等 -
徒审刘14772443332 ______ 显然|A-x0I|=0 那么r(A-xoI)<=n-1 特征多项式与最小多项式相等,所以f(x)=|xI-A|=m(x) 注意到m(x)=dn(x) 所以d1(x)=d2(x)=....dn-1(x)=1 所以行列式因子有一个n-1阶子式不等于0 所以r(A-x0I)>=n-1

费凌周5175矩阵的对角化和若尔当标准型有什么意义 -
徒审刘14772443332 ______ 矩阵若可以对角化,那这个对角矩阵也是它的若尔当标准形,因为若尔当标准形包括对角矩阵

费凌周5175什么是矩阵A的最小多项式(定义)? -
徒审刘14772443332 ______ 先求出所有的特征值及其代数重数.假定不同特征值为c1,c2...,ck,那么极小多项式一定是 p(x)=(x-c1)^a1(x-c2)^a2...(x-ck)^ak 的形式,关键在于定次数. 对于单特征值c,那么对应的指数就是a=1. 对于重特征值c,去求它的广义特征向量,也就是说解(cI-A)^mx=0,m从1开始向上增加,直到(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同,那么a=m.换句话说,就是使得(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m.

费凌周5175矩阵理论1.证明任何一个复矩阵A,可分解为A=D+N,其中D为可
徒审刘14772443332 ______ 1. ⅰ. 先设A为上三角矩阵,且对角线的元素:λ1,..,λn 则A=diag{λ1,..,λn}+... ==> 如果矩阵A的特征多项式和最小多项式相同 Jordan标准型中每个不同的λi,只有1...

费凌周5175矩阵2 2 0 0,0 2 0 0,0 0 3 3,0 0 0 3的Jordan标准型和最小多项式是什么,重分求解 -
徒审刘14772443332 ______ 解: 记所给的矩阵为A. 1. | A - λE| = (2 - λ)^2 (3 - λ)^2. 得A的特征值为 2,3, 且其代数重数分别为 2, 2 (此决定对应某个特征值的总阶数) 2. 简单计算可得 r ( A - 2E) = 3, 所以 特征值2的Jordan块数 = 4 - 3 = 1. 同样 r ( A - 3E) = 3, 所以 特征值3的Jordan块数 = 4 - 3 = 1. 所以 A的Joran标准型为: (2,1,0,0; 0,2,0,0; 0,0,3,1; 0,0,0,3). 其极小多项式为各块极小多项式的最小公倍, 即得 m(x) = (x-2)^2 (x-3)^2

费凌周5175高等代数的＂矩阵的最小多项式＂有什么应用?干嘛要研究这样的一个东东呢?看起来没什么用啊,书上也就给了定义,性质和例子几乎都没讲,所以很难理... -
徒审刘14772443332 ______[答案] Cayley-Hamilton定理说明矩阵代入特征多项式总是0,所以特征多项式所携带的信息比较少,只反应了特征值及其代数重数.极小多项式则从一定程度上反应出特征值的亏损程度.比较重要的性质是:1.矩阵A的极小多项式以A的所有...

费凌周5175如果n阶矩阵A的特征多项式和最小多项式相同,则A的Smith标准型是什么 -
徒审刘14772443332 ______[答案] 记p(λ)=det(λI-A) 注意λI-A的Smith标准型的最后一个对角元是A的极小多项式,也就是p(x),所以前面n-1个对角元都只能是1