证明矩阵可逆例题

艾卞岭2184证明矩阵总是为可逆矩阵证明((A^T)A+λI)总是一个可逆矩阵,其中λ总为正值 -
仲别勉19221364026 ______[答案] 考虑线性方程组[(A^T)A+λI]x=0,故有(A^T)Ax=-λx,即x为(A^T)A的对应于负特征值-λ的特征向量.又因为(A^T)A为半正定矩阵,其特征值均非负,所以x=0,所以矩阵(A^T)A+λI可逆.

艾卞岭2184如何证明分块矩阵是可逆的n阶矩阵p=(A B / 0 C),A,C为可逆矩阵,证明p可逆,并求可逆矩阵 -
仲别勉19221364026 ______[答案] 取矩阵 q = (A^(-1), D; 0, C^(-1)), 则有 pq = …… = (E1, AD+B[C^(-1)]; 0, E2), 为使 pq = E,令 AD+B[C^(-1)] = 0, 可得 D = -[A^(-1)]B[C^(-1)], 因此,可知 p 可逆,且所求逆矩阵为 q = (A^(-1), -[A^(-1)]B[C^(-1)]; 0, C^(-1)).

艾卞岭2184线性代数:证明可逆的矩阵?已知n阶方阵A、B、A+B均可逆,试证明A - 1+B - 1也可逆. -
仲别勉19221364026 ______[答案] A^-1+B^-1=A^-1(B+A)B^-1 所以(A^-1+B^-1)*[B(A+B)^-1A]=E 且A、B、A+B均可逆, 所以A^-1+B^-1也可逆,逆矩阵为B(A+B)^-1A

艾卞岭2184证明矩阵可逆,并求出逆矩阵的问题?设方阵A满足A的平方 - A - 2E=O,证明:A及A+2E都可逆,并求它们各自的逆矩阵. -
仲别勉19221364026 ______[答案] A²-A-2E = A(A-E)-2E=0即 A(A-E)=2EA * (A-E)/2 =E所以A可逆,且逆阵为 (A-E)/2而 A²-A-2E =(A+2E)(A-3E)+4E=0即(A+2E)(A-3E)=-4E(A+2E) * -(A-3E)/4=E所以(A+2E)可逆,且逆阵为 -(A-3E)/4...

艾卞岭2184问一道有关“矩阵可逆”的数学题A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,且m>n,问AB是否可逆,为什么?顺便问一下证明可逆的条件都有什么? -
仲别勉19221364026 ______[答案] AB不可逆的,因为A是m*n阶矩阵,m>n,所以r(A)≤n,矩阵B同理 又因为AB为m阶方阵,而r(AB)≤r(A)≤n

艾卞岭2184一道证明逆矩阵的题设A,B是N阶可逆矩阵,(A+B)也可逆,试证明 (A的逆+B的逆)也可逆 怎么证明啊~ -
仲别勉19221364026 ______[答案] Aˉ(A+B)Bˉ=(E+AˉB)Bˉ=Aˉ+Bˉ, 因为Aˉ,(A+B),Bˉ都可逆,所以Aˉ+Bˉ可逆,且有 (Aˉ+Bˉ)ˉ=[Aˉ(A+B)Bˉ]ˉ=B(A+B)ˉA.

艾卞岭2184求证矩阵A可逆A不等于0,a的伴随矩阵等于a的转置矩阵,求证a可逆 -
仲别勉19221364026 ______[答案] 以A*表示伴随矩阵,A'表示转置矩阵 ------ 反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的,则|A|=0.A*=A',则AA'=AA*=|A|E,E是单位矩阵.所以AA'=0.设A的第i行j列元素是aij,则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2,j=1,2,...,n(k=1,2,...,n).所以akj=0(j,k=1,2,...,n).所以A...

艾卞岭2184证明有限个n阶可逆矩阵乘积可逆,即A,B均为n阶可逆矩阵,则AB为可逆矩阵 -
仲别勉19221364026 ______[答案] AB*B^(-1)*A^(-1)=AEA^(-1)=AA^(-1)=E (E为单位矩阵) 从而AB为可逆矩阵,逆矩阵为B^(-1)*A^(-1)

艾卞岭2184线性代数 证明方阵可逆已知方阵A B满足AB=I,证明A可逆.不能使用可逆矩阵定理(IMT). -
仲别勉19221364026 ______[答案] 证明: 因为AB=E,则B是方程组AX=E的解. 所以r(A)=r(A|E)=r(E). 由于A和E同尺寸,所以A满秩.即可逆.

艾卞岭2184(概念基础题) 求证矩阵A可逆的充要条件为|A|≠0 -
仲别勉19221364026 ______[答案] 以A*表示伴随矩阵,A'表示转置矩阵------反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的,则|A|=0.A*=A',则AA'=AA*=|A|E,E是单位矩阵.所以AA'=0.设A的第i行j列元素是aij,则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2,j=1,2,...,n...