三角换元法求不定积分

在高中数学中，我们学过微分法则，其中有一个重要的法则叫作乘积函数求导法则，它告诉我们如何求两个函数相乘的导数。例如，如果我们有两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积函数u(x)v(x)的导数就是

这个法则很有用，因为它可以帮助我们求一些复杂函数的导数。但是你有没有想过，如果我们反过来，从这个法则出发，能不能得到一些关于积分的结论呢？答案是肯定的，这就是我们今天要介绍的分部积分法公式。

分部积分法公式的推导

要推导分部积分法公式，我们只需要对乘积函数求导法则两边同时求不定积分就可以了。也就是说，我们要求出下面这个等式的两边的原函数：

根据微积分基本定理，我们知道(uv)′的原函数就是uv，而u′v+uv′的原函数就是∫u′vdx+∫uv′dx。所以我们可以得到：

整理一下，就得到了分部积分法公式：

或者写成另一种形式：

这个公式看起来很简单，但是它却有着非凡的作用。它可以帮助我们把一些难以直接求出的积分转化成更容易求出的积分。下面我们来看几个例子。

分部积分法公式的应用

这个积分看起来很复杂，因为它涉及到两个不同类型的函数：幂函数和指数函数。如果我们直接用基本积分公式或者换元法来求解，可能会很麻烦。但是如果我们用分部积分法公式来处理，就会变得很简单。我们只需要把被积函数看成两个函数的乘积：u=x和v=e^x。那么根据公式，我们有：

其中C是任意常数。这样我们就轻松地求出了这个积分。

这个积分也不容易直接求出，因为它涉及到对数函数。如果我们用换元法来求解，可能会遇到一些困难。但是如果我们用分部积分法公式来处理，就会变得很方便。我们只需要把被积函数看成两个函数的乘积：u=lnx和v=1。那么根据公式，我们有：

其中C是任意常数。这样我们就轻松地求出了这个积分。

这个积分也比较复杂，因为它涉及到指数函数和三角函数。如果我们直接用基本积分公式或者换元法来求解，可能会很繁琐。但是如果我们用分部积分法公式来处理，就会变得很巧妙。我们只需要把被积函数看成两个函数的乘积：u=e^x和v=sinx。那么根据公式，我们有：

其中C是任意常数。注意到最后一步中又出现了原来要求的积分∫e^xsinxdx。这时候我们可以把它移到等号左边，并且把系数合并起来，得到：

总结

通过上面的例子，我们可以看到分部积分法公式是一种非常强大而灵活的工具，它可以帮助我们简化一些复杂的积分计算，并且提高我们对于不同类型函数之间关系的理解。当然，在实际应用中，并不是所有的积分都适合用这种方法来处理，有时候还需要结合其他方法或者技巧来求解。但是只要掌握了基本原理和技巧，并且多加练习和思考，相信你一定能够运用自如，并且享受其中的乐趣。

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夔莉旺3908高等数学中,不定积分的换元法怎么理解 -
湛翟勇13316079188 ______ 将自变量用其他变量代替,从而简化运算,这也是根据微分基本法则推导出来的

夔莉旺3908求不定积分时,为什么三角换元x=sint时,根号下1 - x^2直接得到cos x,而不是cos x的绝对值? -
湛翟勇13316079188 ______[答案] 用三角换元时,x=sint t是有界限的! 由1-x^2≥0,x∈[-1,1] x=sint,t∈[-∏/2,∏/2] 此时,√(1-x^2)=√(cost)^2=|cost| 但t∈[-∏/,∏/2],cost≥0, 所以:|cost|=cost 比较熟练的人直接省略了过程!

夔莉旺3908不定积分,被积函数 三角换元的时候,怎么开出来是正的 为什么正负号不用讨论?是不是开出来都是正的? -
湛翟勇13316079188 ______[答案] 你这问题实际不是大问题,因为三角换元时,一般是含√(a^2-x^2)、√(a^2+x^2)、√(x^2-a^2)的式子.以第一个为例,做的代换是x=asint,(-π/2

夔莉旺3908这个不定积分怎么求? -
湛翟勇13316079188 ______ 三角换元法,令y=2sint,则dy=2costdt,原积分化为∫(2cost/2cost)dt=∫dt=t+C,回代,得原积分结果为arcsin(y/2)+C

夔莉旺3908使用三角代换法求不定积分. -
湛翟勇13316079188 ______ 方法:三角换元.你的第一步正确的,接下来按部就班做下去就行了,只不过需要熟练三角函数的恒等式及基本积分公式. 过程:具体参考下图

夔莉旺3908求不定积分 -
湛翟勇13316079188 ______ 求不定积分的方法 换元法 换元法(一):设f(u)具有原函数F(u),u=g(x)可导,那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式: 例题:求 解答:这个积分在基本积分表中是查不到的,故我们要利用换元法. 设u=2x,那末cos2x=cosu,du=2dx...

夔莉旺3908换元法求不定积分1/?分母是(1+X2)2 -
湛翟勇13316079188 ______[答案] 令x=tanθ,原式=∫1/(1+tan2θ)2d(tanθ)=∫cos2θdθ=0.25∫(cos2θ+1)d(2θ)=0.25sin2θ+0.5θ+C=0.5x/(1+x2)+0.5arctanθ +C

夔莉旺3908换元法求不定积分:∫x√(x - 3)dx -
湛翟勇13316079188 ______[答案] 囧 x-3=t^2 x=t^2+3 dx=2dt 原式=∫(t^2+3)t*2dt=t^4/2+3t^2+C

夔莉旺3908不定积分,三角代换就是不定积分的第二类换元法,要设x=sinx或者tanx之类的.到底应该怎么设?看见什么才知道是设sinx呢还是tanx呢? -
湛翟勇13316079188 ______[答案] 若是看到根号(1-x^2)这种的就一半都把x设为sint或者cost,若看到(1+x^2)就设x=tant 因为 (sinx)^2+(cosx)^2=1 (secx)^2=1+(tanx)^2

夔莉旺3908用三角代换求不定积分 -
湛翟勇13316079188 ______ 令x=asint,则dx=acost dt ∫x²/√(a²-x²) dx =∫a²sin²t/(acost)·acostdt =a²∫sin²t dt =a²∫(1-cos2t)/2 dt =a²∫1/2dt-a²∫cos2tdt =a²t/2-1/2·a²sin2t+C =1/2·a²arcsin(x/a)-x·√(a²-x²)+C