曲线切线法平面

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

瞿力哈3255求曲线y^2=4x z^2=2 - x在点(1,2,1)处的切线及法平面方程 -
荣砌帜18858038509 ______[答案] y=2√x z=√(2-x) y'x=1/√x z'x=-1/[2(√(2-x))] x'x=1 在点(1,2,1)处有 x'x=1 y'x=2 z'x= -1/2 所以 切线方程为 x-1=(y-2)/2=-2(z-1) 法平面方程 x-1+2(y-2)-1/2(z-1)=0 整理的 2x+4y-z+9=0

瞿力哈3255空间曲线切线及法平面若空间曲线的参数方程为x=a(t),y=b(t),z=c(t),t属于[d,e],三个函数都在[d,e]上可导,且三个导数不同时为零.现在要求曲线在其上的一点M... -
荣砌帜18858038509 ______[答案] (1)切线方程为什么是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to) 切向量=﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜.﹙x,y,z﹚是切线上←→﹛x-x0,y-y0,z-z0﹜∥﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜ ∴切线方程是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to) [平行向量的分量成比例.)(...

瞿力哈3255高数 求曲线x=2t,y=t²,z=t³在点(2,1,1)处的法线与切平面 -
荣砌帜18858038509 ______[答案] 切线与法平面?可以看到,该点处,参数t=1,在该点处将x,y,z分别对t求导可得切线方向向量为(2,2,3),这也是法平面的法向量. 切线:(x-2)/2=(y-1)/2=(z-1)/3; 法平面:2*(x-2)+2*(y-1)+3*(z-1)=0.

瞿力哈3255求曲线x=sint+t,y=cost,z=e^t - 1 在点(0 1 0)处的切线方程与法平面方程 -
荣砌帜18858038509 ______[答案] 显然dx/dt=cost+1,dy/dt= -sint,dz/dt=e^t 在点(0,1,0)处显然t=0, 所以 dx/dt=2,dy/dt=0,dz/dt=1 所以曲线在点(0,1,0)处的切线方程为: x/2=z 法平面方程为: 2x+z=0

瞿力哈3255求曲线x=t,y=t^2,z=t^3,在点(1,1,1)处的切线及法平面方程,为什么我看答案说点(1,1,1)的对应参数是t=1 -
荣砌帜18858038509 ______[答案] 点(1,1,1)的x=1,而x=t,那么参数t=1..know? 对方程求到得x'=1,y'=2t,z'=3t(2),把t=1代入得这点处的切向量为(1,2,3),所以切线为x-1=(y-1)/2=(z-1)/3,法平面为(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0

瞿力哈3255切线及法平面方程是什么?
荣砌帜18858038509 ______ melody6910: 问题:例21、求曲线x=t,y=t2,z=t3在占点(1,1,1)处的切线及法平面方程. 请问 确定原则是:选择一个t0使当t= t0时该点满足曲线方程.因为只有当t=1时,该点才在该曲线上,即满足该曲线方程.另如下例: 求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sint/2在点M0((π/2)-1 ,1,2 √2 )处的切线方程和法平面方程. 解:点M0((π/2)-1 ,1,2 √2)所对应的参数t=π/2因为只有当t=π/2时才满足曲线方程.

瞿力哈3255求曲线x=t^2,y=1 - t,z=t^3,在点(1,0,1)处的切线方程和法平面方程 -
荣砌帜18858038509 ______[答案] 切线为x-1=(y-0)/2=(z-1)/3; 法平面为x-1+2(y-0)+3(z-1)=0

瞿力哈3255!!!曲线 切线 切平面的疑惑 麻烦各位数学高手解答 -
荣砌帜18858038509 ______ 空间光滑曲在一点的切线为此点处割线的极限位置,而过此点又垂直该直线的平面为法平面.例如当Q点沿曲线C向点P运动,并无限靠近点P时,割线PQ逼近点P的切线L,从而割线的斜率逼近切线的斜率.,切线斜率的本质是函数平均变化率的极限,切线是割线的极限位置,切线 的斜率是割线斜率一个极限.,若割线在P点有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线.

瞿力哈3255空间曲线为什么没有切平面?空间曲面为什么没有法平面? -
荣砌帜18858038509 ______[答案] 因为这是无法定义的,空间曲线可以定义其切线和法平面,空间曲面可以定义其切平面和法线,这些定义书上都有,就不重复了.现在以空间曲线为例,首先给定一条空间曲线,那么在该曲线上任一点都可以求出其切线,注意对于该点上...

瞿力哈3255在偏导数应用那章,为什么空间曲线一般只求法平面,而空间曲面却求切平面呢,因为空间曲线没有切平面,只有切线? -
荣砌帜18858038509 ______[答案] 因为空间曲面的切平面上,过切点的直线即切线有无数条,方向矢量各不相同,所以求之无意义. 反过来,一条曲线对应的切平面也有无数个,它们法矢量也不相同,所以求之也无意义