用微积分求球的表面积
我们在三维空间中构造出一个表面积无穷大，但体积却是有限的形状。如下图所示，可以看出这个形状类似乐器——小号，又称为加百利号角。
这个号角的怪异之处就在于：如果你想要向里面灌水去填满它，这是可以做到的；但如果你想用油漆将其表面都刷一遍，那么不好意思，这个办不到。因为理论上你需要无穷多的油漆才能刷满它。
乍一听，可能很多朋友都不相信，怎么可能有这种东西呢？但实际上当初提出这个设想的可是正正经经的科学家——埃万杰利斯塔·托里拆利。没错就是我们中学时代，物理课上讲的那个测量大气压的托里拆利。
其构思是在数学层面进行的，过程很简单：我们设想将反比例函数y=1/x，其中沿x大于等于一的部分，绕着x轴旋转一圈，就可以得到这么一个形状，长的和小号很像。
这时候，托里拆利就想去计算这个小号的面积和体积是多少？值得注意的是，当时距离微积分的出现还有几十年呢。因此托里拆利只能用当时数学中的卡瓦列利原理（这个卡瓦列利原理，实际上就是中国的祖暅原理，但祖暅原理要比其早了一千年），之后托里拆利得到这个小号的表面积无穷大，但体积却是一个有限值。
这个结论让人非常惊讶，因为从直观上来讲，一个物体在体积有限的情况，它的表面积竟然是无穷大的，难以想象它的存在。
没错，因为这个小号过于违背人们的直觉，以至于当时英国著名的哲学家托马斯·霍布斯直呼：如果你想要从感官上去理解它，只有疯子才能办到！
当时的数学界也是议论纷纷，直到后来微积分出现后，人们利用微积分再次对其验证，结果发现结论是正确的，确实是面积无穷大，体积有限，且体积值为Π。
图中出现的就是利用微积分计算面积和体积的算式，可以看到用到的微积分知识都是相当基础的。
实际上关于这个争论，从客观世界出发，并没有多烧脑，因为数学图像是理想模型，这个小号就是一个长度无限的曲面，毫无厚度可言，而且它根本不需要考虑微观层面的物质构成。
就好比于，在数学上我们可以说一条线、一个面。但实际上，只有长度，却没有厚度和宽度的线；以及只有长度和宽度，却没有厚度的面，二者在客观世界中我们根本造不出来。
因此这个小号也是造不出来的，所谓的悖论也只是存在于人们的直觉感受上而已。
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